[科普中国]-关于函数的复合运算-

复合函数是按一定次序把有限个函数合成得到的函数，对两个函数f：A→B，g：B→C，由h(x)=g(f(x))(x∈A)确定的函数h称为f与g的复合函数，记为g°f，这样，g°f是A到C的函数，(g°f)(x)=g(f(x))，它的值域是g(f(A))，记号“°”表示两个函数的复合，它是二元运算.这个运算不满足交换律，即一般来说g°f≠f°g，但它满足结合律：对f：A→B，g：B→C，h：C→D，有h°(g°f)=(h°g)°f，于是可以定义h°g°f=h°(g°f)=(h°g)°f，一般地，对n+1个满足Bi⊆Ai+1(i=1，2，…，n)的函数fi：Ai→Bi(i=1，2，…，n+1)可以定义n重复合函数fn+1°fn°…°f1，任给两个函数f：A→B，g：C→D，当且仅当f(A)⊆C时可以得到复合函数g°f：A→D；当且仅当g(C)⊆A时可以得到f°g：C→B，当函数用变量表示为t=f(x)，y=g(t)，且f的值域含于g的定义域时，称t为复合函数y=g(f(x))的中间变量，函数的复合是研究函数的一种工具，一方面它提供了构造各式各样的新函数的方法；另一方面，为研究复杂的函数，常将它们看成一些简单函数的复合(求函数的导数时常这样做)1。

定义设有定义在由集合A到集合B的函数和定义在集合B到集合C上的函数，则和的复合函数是一个由集合A到集合C的函数，记为 (或记为 )。

对于任意一个元素，有，也就是说，如果是在函数作用下的像，并且是元素b在函数作用下的像，那么集合C中的元素c就是在复合函数作用下的像2。

复合函数的定义域与值域在上述复合函数的定义中，要求函数的值域包与函数g的定义域相等。实际上，对该条件可以适当放宽，即只要求函数的值域是函数g的定义域的子集就可以了。也就是说．若有函数和函数，并且有f(A)是集合C的子集，则同样可以定义一个由集合A到集合D的复合函数g·f。但是，如果不是集合C的子集，那么，复合函数就没有意义了。因此，在上述定义的条件下，尽管复合函数有意义，但是不一定有意义，即使与都有意义，二者也不一定相等。

例1 设集合，集合，集合，定义在集合A到集合B上的函数，，定义在集合B到集合C上的函数，求复合函数。

根据复合函数的定义不难求出

例2设集合，并且在由集合A到A自身上定义两个函数和函数：

求复合函数。

**解：**根据复合函数的定义有：

由于函数的复合运算是关系的复合运算的一种特殊情形，因此关系的复合运算中成立的性质，对于函数的复合运算也是成立的。例如,对于任意一个函数，有。又例如，设有三个函数，根据定义不难看出，这些函数可以构成复合函数，进而可以构成复合函数，可以看出，这两个复合函数都是由集合A到集合D的函数。又由于关系的复合运算满足结合律，因此，函数的复合运算也满足结合律，因此，可以得出以下定理2。