版权归原作者所有,如有侵权,请联系我们

[科普中国]-p级数

科学百科
原创
科学百科为用户提供权威科普内容,打造知识科普阵地
收藏

p级数,又称超调和级数,是指数学中一种特殊的正项级数。当p=1时,p级数退化为调和级数。p级数是重要的正项级数,它能用来判断其它正项级数敛散性。

定义定义. 对任意的正实数,称下列级数1

级数。显然,当时,级数收敛,当级数发散。当级数收敛时,记级数收敛值。易知上的光滑函数1。

特殊值1)对任意的正偶数,有

其中,是第个伯努利数。对任意的正奇数,目前还没有这样的简单表达式。

2)

也称为调和级数,应此,由上式可知调和级数是发散的。

3)

4)

5)

6)

欧拉乘积公式函数与素数之间有一重要的关系,即欧拉乘积公式,最早由数学家欧拉发现2。即为

其中,表达式右边为

欧拉乘积公式表明函数和素数之间有千丝万缕的联系。

由欧拉乘积公式,我们有

时,欧拉乘积公式左边为调和级数,是发散的,欧拉乘积公式右边为,这表明素数是无穷多个。除此之外,上述公式还有很多其它用处。如欧拉乘积公式可用于计算随机选取的整数互质的渐近概率。

黎曼函数定义. 在复平面上,对任意,定义黎曼函数

或者由下述积分给出

其中

黎曼函数和黎曼猜想有关。而目前黎曼猜想是数学上还未解决的一个重要的猜想,其猜想是非平凡的零点的分布都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。进一步的了解参见黎曼猜想。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学