p级数,又称超调和级数,是指数学中一种特殊的正项级数。当p=1时,p级数退化为调和级数。p级数是重要的正项级数,它能用来判断其它正项级数敛散性。
定义定义. 对任意的正实数,称下列级数1
为级数。显然,当时,级数收敛,当,级数发散。当级数收敛时,记为级数收敛值。易知是上的光滑函数1。
特殊值1)对任意的正偶数,有
其中,是第个伯努利数。对任意的正奇数,目前还没有这样的简单表达式。
2)
也称为调和级数,应此,由上式可知调和级数是发散的。
3)
4)
5)
6)
欧拉乘积公式函数与素数之间有一重要的关系,即欧拉乘积公式,最早由数学家欧拉发现2。即为
其中,表达式右边为
欧拉乘积公式表明函数和素数之间有千丝万缕的联系。
由欧拉乘积公式,我们有
当时,欧拉乘积公式左边为调和级数,是发散的,欧拉乘积公式右边为,这表明素数是无穷多个。除此之外,上述公式还有很多其它用处。如欧拉乘积公式可用于计算随机选取的整数互质的渐近概率。
黎曼函数定义. 在复平面上,对任意,定义黎曼函数为
或者由下述积分给出
其中
黎曼函数和黎曼猜想有关。而目前黎曼猜想是数学上还未解决的一个重要的猜想,其猜想是非平凡的零点的分布都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。进一步的了解参见黎曼猜想。
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孙和军 - 副教授 - 南京理工大学