[科普中国]-p级数

p级数，又称超调和级数，是指数学中一种特殊的正项级数。当p=1时，p级数退化为调和级数。p级数是重要的正项级数，它能用来判断其它正项级数敛散性。

定义定义. 对任意的正实数，称下列级数1

为级数。显然，当时，级数收敛，当，级数发散。当级数收敛时，记为级数收敛值。易知是上的光滑函数1。

特殊值1）对任意的正偶数，有

其中，是第个伯努利数。对任意的正奇数，目前还没有这样的简单表达式。

2）

也称为调和级数，应此，由上式可知调和级数是发散的。

3）

4）

5）

6）

欧拉乘积公式函数与素数之间有一重要的关系，即欧拉乘积公式，最早由数学家欧拉发现2。即为

其中，表达式右边为

欧拉乘积公式表明函数和素数之间有千丝万缕的联系。

由欧拉乘积公式，我们有

当时，欧拉乘积公式左边为调和级数，是发散的，欧拉乘积公式右边为，这表明素数是无穷多个。除此之外，上述公式还有很多其它用处。如欧拉乘积公式可用于计算随机选取的整数互质的渐近概率。

黎曼函数定义. 在复平面上，对任意，定义黎曼函数为

或者由下述积分给出

其中

黎曼函数和黎曼猜想有关。而目前黎曼猜想是数学上还未解决的一个重要的猜想，其猜想是非平凡的零点的分布都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。进一步的了解参见黎曼猜想。

本词条内容贡献者为:

孙和军 - 副教授 - 南京理工大学