[科普中国]-泛函微分方程

泛函微分方程(functional differential equation)是带有各种滞后量的微分方程(微分差分方程)、各种具有复杂变元的微分方程、带有滞后量的积分微分方程等一类方程的概括和抽象。

早在1750年欧拉所提出来的“求一曲线使之与其渐缩线相似”的问题就属于最早的泛函微分方程问题，所求的曲线就满足一个特殊的泛函微分方程。以后在各个学科中不断地提出相类似的问题，因此对泛函微分方程的研究具有重要的实际意义。20世纪40年代以前，人们围绕微分差分方程的解析解开展了许多工作。20世纪50年代以后，转向稳定性理论的研究。原苏联数学家克拉索夫斯基和日本数学家加藤敏夫等在这方面都有重要贡献1。

基本介绍泛函微分方程又叫微分差分方程、时滞微分方程等，一般形如

或

其中 ，叫做时滞。顾名思义，时滞是滞后于现时t的时间量，但根据问题需求，可推广到超前时滞、无穷时滞等，其方程形式也已发展出多种，其中最有名是中性方程(neutral diferential equations)，泛函微分方程通常被认为就是含有时滞因素的常微分方程，泛函微分方程应该算是对常微分方程概念的一种扩展，其内涵包括了不含时滞的常微分方程，还有以下几种方程2。

(1)含有时间滞后项的微分方程（滞后型）：

(2)含有时间超前项的微分方程（超前型）：

(3)方程最高阶导数项含有时滞的微分方程（中立型）：

当然，也有一些不能简单分类的泛函微分方程，如

另外还有变时滞的微分方程，如 ，其中 可以比t大，也可以比t小。在针对实际问题建立微分方程模型时，我们可以根据需要将不同时刻的状态影响添加到模型中来，这样不仅使得模型更加贴近现实、更具合理性，还可以增加若干个对现实问题的调控手段。

泛函微分方程通常无法给出通解的解析表达式，一般只能在给出具体参数后，利用各种数学软件求出其数值解。以滞后型方程(1)为例，给定初始条件

可以先求出初始解的一段，即

求 时的解，可以这样一段一段进行积分。

实际上，当研究人员考虑建立时滞微分方程模型时，他们的主要目的是了解方程中含有的各项参数发生变化时，方程解的几何性态会发生怎洋的变化；或者说，方程中含有的参数、函数表达式满足哪些条件时，方程的解才会表现出特定的性态。这些领域一直是理论研究的热点，每年都会有大量的新成果涌现2。

由于泛函微分方程中时滞变量的引入，使得这类模型所反应的问题更为确切，所以其应用也很广，诸如经济学、生态学、病理学、电子学、气象学等都有应用。不过显然它的求解要比解经典的常微分方程难，或说它的解理论不如经典的常微分方程成熟，这又反过来影响了它应用推广的速度和广度。

泛函微分方程的发展泛函微分方程是含有偏差变元的微分方程，是微分方程理论的一个重要分支。含有导数的泛函方程(或称函数方程)称为泛函微分方程。从应用角度来看，动力学系统中的时滞现象通常是不可避免的，即使以光速传递的信息也不例外。在可以略去时滞的情形则以常微分方程为数学模型，此时系统的未来状态仅取决于初始的瞬间状态而和过去的历史无关。在不允许略去滞量的情形就必须以滞后型差分微分方程或者更普遍的泛函微分方程为数学模型，例如方程

其中 称为滞量，这时初值问题不仅要考虑系统状态的瞬间初值，而且要顾及历史的状况，到20世纪50年代末为止，主要是把常微分方程的各种结果尽可能直接推广到滞后型差分微分方程上去，其中主要是解的存在惟一性，解对初始数据的连续依赖性，初等积分法(分步法)，线性自治系统特征根的分布及其与稳定性的关系，在拉兹密辛条件下推广李亚普诺夫第二方法等，但解映射 只限于认定是C→Rn。1959年，克拉索夫斯基(Н.Н.Красовский)提出把轨线段

视为空间 的元，把解映射T(t，σ)：C→C定义为T(t，σ)φ=xt(σ，φ)，于是滞后型泛函微分方程可写成

其中 是右导数，习惯简记为RFDE(f)。由于右端算子可取种种形式，所以它是在广泛基础上的概括。20世纪60年代确立了(1)的基本理论，和李亚普诺夫泛函方法下的稳定性理论等(参见“李亚普诺夫泛函方法”)。对方程中最高阶导数也出现偏差变元的方程(参见“中立型泛函微分方程”)，如

长期以来只是形式上的推广，但1976年开始有大量的应用背景被发现，主要是控制理论、博弈论、遗传学、细胞的生化机理以及物理学中的种种应用问题。例如，布莱顿(R.Brayton)在研究信息无损传输网络时便提出一类中立型方程。1971年，霍尔(J.Hall)与克鲁兹(M.A.Cruz)从中划分出一类方程

称为算子型中立型泛函微分方程，简记为NFDE(D，f)，D称为差分算子，如

可以把(1)的基本理论、稳定性理论等都方便地推广到(2)上去，因为初始函数空间也是C而不必限制在C1上，对 是无界连续函数以及滞量在无穷区间上连续分布的泛函微分方程，可以概括为(1)和(2)型的无穷时滞系统，记号完全一样，但需要用一系列公理来限定初始数据空间。严格的定义与基本理论是由霍尔与加藤顺二(J.Kato)于1978年共同确立的，有限时滞系统的种种已知结果都在一定条件下推广到无穷时滞系统。

传统的泛函微分方程有三类：滞后型是理论的主体，其次是中立型，超前型只有少量研究工作.研究课题除基本理论和稳定性理论以外，还涉及解的振动性、周期解与概周期解的存在性、边值问题、数值解、线性系统理论以及摄动方法的应用等。滞后型、中立型、超前型方程分别略称为R型、N型、A型方程。

20世纪80年代以来，各类应用学科中提出大量新型泛函微分方程，它们是现有泛函微分方程理论所无法概括的，统称为非R，N，A方程，包括：

1.混合型方程，指的是R，N，A型方程的某些复合形式(参见“混合型差分微分方程”)。

2.偏泛函微分方程，指的是带有偏差变元的偏微分方程(参见“偏泛函微分方程”)。

3.复杂偏差泛函微分方程，指的是偏差依赖于未知函数及其导数的方程，如

对这些新类型泛函微分方程，有许多探索性工作，虽然完整的基本理论尚待确立，但可以预期这将是泛函微分方程未来发展的热点之一。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学