[科普中国]-牛顿恒等式

对于n次多项式F(X)有著名的牛顿恒等式。它是n次方程F(X)=0的n个根的同次幂的和与F(X)的函数之间关系的明确表述1。

背景艾萨克·牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。

牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。数学方面牛顿也贡献颇多，以他和莱布尼兹共同发明的微积分最为重要。除此以外，他还发现了了二项式展开定理、牛顿恒等式等重要定理。

定义牛顿恒等式叙述如下2：

设F(X)=0的n个根.对于记则有

恒等式的证明对于一元二次方程，即：

F%5Cleft(x%5Cright)%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc%3D0%2Ca%5Cne0%5Cleft(1%5Cright).

牛顿恒等式，设为方程两根，对于，则有

下面是（2）（3）式的证明：

（2）的证明：

由于为方程二根，易得

当k>2时，分别以乘上这两个式子，得

ax%5Ek_1%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_1%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_1%3D0%2Cax%5Ek_2%2Bbx%5E%7Bk-1%7D_2%2Bcx%5E%7Bk-2%7D_2%3D0.

相加两个上面两式，即可得（2）。

（3）的证明：

由韦达定理：所以即（3）的一式成立，

又因为所以即（3）的二式成立。对于n>2其他情况，可以类比（2）（3）式加以证明

恒等式应用一、证明韦达定理1

由（3）式证明即可以看出：通过韦达定理既然可以推出（3）式，那么牛顿恒等式（3）式与韦达定理是等价的。通过逆推就可以证明韦达定理的正确性。

二、其他有用推论

1，通过方程1系数a，b，c，即可逐个确定

2， 如则

3，通过牛顿恒等式，也可以由a，b，c的奇偶性推知的奇偶性。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学