[科普中国]-常微分方程解析理论

常微分方程解析理论是在复数域上研究微风方程解的性质的数学分支，19世纪中叶，柯西（Cauchy,A,-L）证明了在相当广泛的条件下微分方程的解是复变量的解析函数，由此开创了运用复变函数论研究微分方程的先河，首先是运用复变函数论方法于复的线性系统，导致了许多重要的数学物理方程的研究，如超几何方程等。随着研究的深化，在日本数学家吉田耕作(Yosida,K.)引入奈望林纳(Nevanlina,R.)的近代亚纯函数的值分布理论后，常微分方程的解析理论后，常微分方程的解析理论得到了很大的发展，在法国和俄罗斯数学学派有关几何理论研究的推动下，又出现了所谓拟解析理论。1

简介复域上的常微分方程理论是应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。

这是基于A.-L.柯西的基本定理，即在对微分方程作极为广泛的假设下，它的积分是复变数的解析函数。常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关。它的先驱性工作是由柯西、黎曼、富克斯、庞加莱以及班勒卫等人所作。

解的存在性和惟一性定理微分方程理论中最基本的问题是已给的方程是否有解，早先的数学家们力图通过已知初等函数的有限组合来表示微分方程的解，但在这个观念下大多数微分方程不可积。这实际上是要求方程的大范围通解，是不合适的，因为典型的分析运算与极限过程只要求局部的观点。另一方面，在物理和力学中的问题常是只要求适合某些补充条件的特解。

在复域中通常应用幂级数展开式给出惟一的形式解，然后用与某个已知的收敛幂级数相比较的方法（优函数方法）给出形式解的收敛性证明，从而完成存在性和惟一性定理的证明。

奇点微分方程的解出现的奇点较解析函数论中的情况要复杂得多。首先当自变量围绕某些点转一圈以后，函数从一个值变为另一个值，称这些点为分支点。代数函数可能具有的奇点称为代数奇点。

富克斯还对微分方程解的奇点提出一种重要的区分，即分为固定奇点和流动奇点。前一种由微分方程本身给出其位置和性质，与方程的个别解无关，也即与通解中所含的任意常数无关。后者则依赖于柯西问题的初始值，也就是依赖于特解的选择，它与任意常数一起变动。例如方程的解以整数和无穷远点为固定奇点（极点）；和分别有解为和此时 с 分别是流动代数分支点，流动对数分支点和流动本性奇点。

线性常微分方程一类很重要的常微分方程，未知函数的最高阶导数是较低阶导数的线性函数，一般可写成如果右端恒为零，则称为齐次线性微分方程。如果知道了齐次方程的通解，则能通过参数变动法（或称常数变易法，见初等常微分方程）得到非齐次方程的解。因此线性方程的中心问题是研究齐次方程，而 n 阶齐次线性方程的通解能由 n 个线性独立的特解线性地表示出来。这个基本性质大大简化了对线性方程的研究。此外，在力学和电路理论中有关振动问题常化归为二阶线性方程，纯粹数学中的许多完美思想也是从这类方程的研究中产生，而且常常能展现出 n 阶线性方程的许多性质。所以大量的工作是关于二阶线性方程的。

勒让德方程(Legendre equation)

连带勒让德方的特殊情形。在球坐标系下将球函数方程分离变量时，可出现连带勒让德方程。即：

当，即轴对称时，勒让德方程为：

或：

其中，。勒让德方程和连带勒让德方程隐含着（即）的“自然边界条件”，并构成本征值问题，决定了只能取整数值。本征值为，本征函数是阶勒让德多项式。

非线性微分方程由于许多物理系统是非线性的，从而描述它们的微分方程也是非线性的，即未知函数或其导数非线性地出现于方程之中。对于非线性方程一般性质的了解不像线性方程那样完备和深入，而是知道得很少，而且它具有线性方程理论中所未见的新现象。

奈望林纳理论的应用20世纪20年代芬兰数学家R.奈望林纳创立了亚纯函数值分布理论。不久日本数学家吉田耕作应用此理论于一类非线性常微分方程的研究。50年代H.维蒂希更系统地研究了奈望林纳理论对常微分方程理论的意义，使得这一理论成为研究一类方程解的某些大范围性质（解的增长性，值分布性质，因子分解等）的重要工具。

1933～1934年吉田耕作应用奈望林纳理论给出定理一个漂亮的证明，并且大大推进了结果。

此外，对于代数微分方程亦有相应的结果，中国数学工作者对相当广泛的高阶代数微分方程存在“较快”增长的代数体函数解的必要条件亦得到精确形式的马尔姆奎斯特型定理。近年来奈望林纳理论还被用来研究常微分方程复振荡理论、解的增长性估计和解的因子分解等。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学