[科普中国]-简谐波

简谐波，即简谐运动（或简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion））既是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。

简介简谐运动（或简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion））既是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。

如果用F表示物体受到的回复力，用x表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

式中的k是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律，F=ma，当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，并且跟合力的方向相同。简谐运动系统的机械能守恒。1

动力学方程对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到

回复力又可表示为

所以有

求解上述方程，得到的的解含有正弦函数

其中

，是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义：A是振幅，ω= 2πf是角频率，φ是相位。

利用微积分，速度和加速度可以作为时间的函数得到

加速度也可以作为位移的函数被得到

因为ω= 2πf，

又因为周期T= 1/f，所以：

以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。2

弹簧振子将一个有孔小球体与一个弹簧连在一起，将一个极为光滑的水平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。弹簧振子的固有周期和固有频率与弹簧弹力系数和振子质量有关，与振幅大小无关。3

振幅、周期和频率1.振幅

振幅A代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于。，即它的平方正比于系统的机械能E

2.角频率

角频率：。频率f为周期T的倒数，其中。推导过程：

对于时间t求导，再关于时间t求导，由牛顿第二定律得两式联立得

简谐振动的判定如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数k即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。

如果一个质点的运动方程有如下形式即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。

如果一个质点的动力学方程可以写成其中ω2为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动

应该说明：

以上各判定方法是完全等价的；

以上各表达式中的x既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。4

参阅平移运动

匀速运动

平抛运动

曲线运动

本词条内容贡献者为:

李雪梅 - 副教授 - 西南大学