[科普中国]-纯量场

在数学中，这些场可以表示为多元纯量值函数或向量值函数，因而相应地称这些函数为场，即把多元纯量值函数称为纯量场(或标量场，数量场)，多元向量值函数称为向量场。

场是可测量的物理量在空间与时间中的连续分布。它不依赖于坐标系的选择。例如，物体的质量分布成为质量场，大气的压力分布成为压力场，温度分布成为温度场，流体的流速分布成为速度场。在数学中，这些场可以表示为多元纯量值函数或向量值函数，因而相应地称这些函数为场，即把多元纯量值函数称为纯量场(或标量场，数量场)，多元向量值函数称为向量场。向量分析研究纯量场与向量场。当f是可微或C类函数时，称场f是可微场或C类场。对场的研究离不开数学提供的三个“度”：梯度、散度与旋度。根据这三个概念的物理意义，引进了各种场的名称：若散度div f≡0，则称f为无源场或管状场；若旋度rot f≡0，则称f为无旋场；若存在u，使f=grad u，则称f为势场(又称位场)，称u为f的纯量势函数(位函数)，简称势函数；若存在g，使f=rot g，则称f为旋度场，称g为f的向量势函数。根据数学上的有关结论，这些场之间有下述关系：若f是C类场，且其定义域是单连通域，则f是无旋场，当且仅当它是势场，f是无源场当且仅当它是旋度场，梯度场是无旋场，旋度场是无源场。对任何向量场f，存在纯量场u及向量场g，使f=grad u+rot g(亥姆霍兹分解定理)。在数学分析中只是用多元微积分的方法初步讨论场的理论。场论的进一步研究是近代物理的重要组成部分。1

向量场是由一个向量对应另一个向量的函数。向量场广泛应用于物理学，尤其是电磁场。

形成场的量为向量，称该场为向量场。

在一定的单位制下，用一个实数就足以表示的物理量是标量，如时间、质量、温度等；在这里，实数表示的是这些物理量的大小。和标量不同，矢量是除了要指明其大小还要指明其方向的物理量，如速度、力、电场强度等；矢量的严格定义是建立在坐标系的旋转变换基础上的。常见的矢量场包括Maxwell场、重矢量场。

建立坐标系(x,y,z)。空间中每一点(x0,y0,z0)都可以用由原点指向该点的向量表示。因此，如果空间在所有点对应一个唯一的向量(a,b,c)，那么时空中存在向量场F：(x0,y0,z0)→(a,b,c)。

几何学与物理学的许多概念(例如，粒子的瞬时速度，力，物体绕固定点的旋转) 都可以用一个方向加上一个正的数值所完全确定。这就是一个向量。任何X都可几何地表示为一条从O到向量P的线段OP，它有适宜的方向，而使OP的长度等于X的量值。如果线段QR平行且等于OP，那么QR所表示的向量与OP的相同。一个向量相对於以Ox，Oy，OE为轴的直线坐标系的分量正好就是点P的坐标(x，y，z)。(1)两个向量的和X+X′定义为分量为 (x+x′，y+y′，z+z′)的向量，或者，等价地，就是以OP，OP′为边的平行四边形的对角线所表示的向量。(2)如果a是一个数 (在这里，也称为是一个标量，则向量aX定义为其分量是(ax，ay，az) 的向量。利用这些(以及其它一些)标记法，比起不用它们来说，可以把某些几何的及物理的事实表达得更为简洁明了。在研究一些连续现象时常常会涉及到向量场，所谓向量场是这样一种函数： 对于空间中某个区域的每一点，它给出一个向量作为函数值。

从比较抽象的观点来看，上面讲到的定义，特别是 (1) 和 (2)，不必局限于恰好是3个分量。于是就有(实数域上的)向量空间的概念。这是一种数学结构，在其上定义了满足一些自然公理的运算(1)及 (2) 。向量空间与线性的概念密切相关，凡是出现线性概念的场合都能用到向量空间。

梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。

设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度、温度或空间，则分别称为速度梯度、浓度梯度、温度梯度或空间梯度。其中温度梯度在直角坐标系下的表达式如右图。

在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧几里得空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅可比矩阵的特殊情况。

在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。

梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被称为梯度。2

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