[科普中国]-二元二次方程组

在初等代数中，通常把由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。

二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。

定义与一般形式在初等代数中，二元一次方程组的定义为：由两个未知数的一个二次方程和一个次数不超过二次的方程所组成的方程组。

二元二次方程组可分成两种类型，第一类型是由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

其中a1，b1，c1不全为零，d2和e2也不全为零。第二类型是由两个二次方程所组成的方程组，它的一般形式可写成：

其中a1，b1，c1不全为零，d2和e2也不全为零。1

求解方法对于上述第一类型的二元二次方程组，可用代入消元法，从而归结为解含一个未知数的一个二次方程；而对于第二类型的二元二次方程组，经过消元后一般将归结为一元四次方程，但对如下几种特殊情形还是可以用一次和二次方程的方法来求解的：

1.存在数m和n，使mF1(x，y)+nF2(x，y)是一元方程；或是一次方程；或是可约。

2.F1(x，y)和F2(x，y)均为对称多项式或反对称多项式。1

二元二次方程组最多可能有四组解。用代入法解二元二次方程组计算量大，计算困难（尤其是解无理方程和一元四次方程），因此必须寻找更简便的方法。

特殊形式二元二次方程组中有许多特例，例如：

A 有一个一次方程的二元二次方程组

B 对称方程组

C 轮换方程组

D 不含一次项

E 二次项系数成比例

具体如下：

一个一次方程的二元二次方程组：

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，一般用代入法求解，即将方程组中的二元一次方程用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入二元二次方程中，从而化“二元”为“一元”，如此便得到一个一元二次方程。此时，方程组解的情况由此一元二次方程根的情况确定。

例 解方程组：

**解：**由(1)，得

把(3)代入(2)，得

整理，得

解这个方程，得

把 代入(3)，得

∴原方程上的解是：2

不含一次项：

不含有一次项的二元二次方程。通常解法为：尝试将常数项通过加减消元消去。

例 解方程组

**解：**经观察我们发现两个方程都没有一次项，则可以消去常数项，并分解因式。由①-②×2得：

即

则原方程组与下列两个方程组同解：

（1） ，解得 ， ；

（2） ，解得 ， ；

所以原方程的解为： ； ； ； ；3

二次项系数成比例：

通常解法为：通过加减消元消除二次项

例 解方程组

**解：**①×3-②×2得

则原方程与下列方程组同解

用代入法可得这个方程组（也即原方程组的解）：3 ；

对称方程组：

将方程组中各方程的未知数互换后与原方程一样，则此方程组为对称方程组。解的特性：两个未知数可以互换。

轮换方程组：

将方程组中各方程的未知数互换后，各方程变化，但是整个方程组不变。一般来说，将两式相减即可因式分解。

本词条内容贡献者为:

胡建平 - 副教授 - 西北工业大学