使泛函达到极值的变元函数称为极值函数,若它为一元函数,通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。
简介极值是变分法的一个基本概念。泛函在容许函数的一定范围内取得的最大值或最小值,分别称为极大值或极小值,统称为极值。使泛函达到极值的变元函数称为极值函数,若它为一元函数,通常称为极值曲线。极值也称为相对极值或局部极值。1
欧拉方程的积分曲线(Euler equation)
欧拉方程是泛函的极值函数满足的微分方程,假设 F(x,y,y') 关于变元是二次可微的,函数且满足边界条件
那么泛函
取极值的必要条件是:
是微分方程
或
的解。这个方程称为欧拉方程。
欧拉方程的积分曲线称为极值曲线。对于形如
的泛函,它相应的欧拉方程为
式中
局部极值设是欧氏空间
中某一区域
上的n元实函数,对于
,若存在某个
.使得所有
,满足
,则称
为
在R上的局部极小点(或称相对极小点),
为局部极小值。若对于所有
,且与
的距离小于
的
,有
,则称
为
在R上的严格局部极小点,
为严格局部极小值。
设是欧氏空间
中某一区域
上的n元实函数。若点
对于所有
,都有
,则称
为
在
上的全局极小点,称
为全局极小值。若对于所有
,且
,都有
则称
为
在R上的严格全局极小点,
为严格全局极小值。
对于极大点与极大值,不难仿上给出相应定义。
本词条内容贡献者为:
王海侠 - 副教授 - 南京理工大学