[科普中国]-剩余类

剩余类，是一种数学的用语。设模为n，则根据余数可将所有的整数分为n类，把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a]。并把a叫作剩余类[a]的一个代表元。

简介剩余类亦称同余类。数论的基本概念之一，指全体整数按照对一个正整数的同余关系而分成的类。

设 m 是给定的正整数，以 表示所有形如 的整数组成的集合，其中 则 称为模 m 的剩余类。

定义一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把（所有）对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。

性质模 m 的剩余类具有性质：

1、每一个整数恰包含在某一个类 Cj 里(0≤j≤m-1)；

2、两个整数 x，y属于同一类的充分必要条件是。1

剩余类与完全剩余系由此可引出抽象代数中重要的概念，如群论中的陪集，环论中的剩余类等。任取n，这n个数0，1，…，n-1称为模n的一个完全剩余系。每个数称为相应类的代表元。最常用的完全剩余系是{0，1，…，n-1}。

1、若 ，则n个整数 ， 构成一个完全剩余系的充分必要条件是这n个除n的余数两两不相等。

2、若 ，当 为完全剩余系时， 也为完全剩余系。

3、若 ，则当 是完全剩余系时，

也构成 完全剩余系。

剩余类与简化剩余系在个剩余类选取一个与n互素代表元构成简化剩余系。

1、 ，当 为简化剩余系时， 也为简化剩余系。

2、 则当 是简化剩余系时， 也构成 简化剩余系。

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学