[科普中国]-三角形中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的1/2。

三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

特点：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。

三条中位线形成的三角形的面积是原三角形的四分之一，三条中位线形成的三角形的周长是原三角形的二分之一。

证明证明1：

如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF。

∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC

∴△ADE ≌ △CFE（SAS）

∴AD=FC ∠A=∠ECF

∴AB∥FC

又∵AD=DB

∴BD∥CF，BD=CF

∴四边形BCFD是平行四边形

∴DE∥BC 且 DE=1/2BC

证明2：

如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AF

∵AE=CE DE=EF

∴四边形ADCF为平行四边形

∴AD∥CF，AD=CF

∵AD=BD

∴BD∥CF，BD=CF

∴四边形BCFD为平行四边形

∴BC∥DF，BC=DF

∴DE∥BC 且 DE=1/2BC

误区：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段。

妙用初等平面几何中，有关三角形中位线的定理：“ 三角形的中位线平行于底边， 且等于底边的一半。”及“ 过三角线一 边的中点且平行于另一边的直线必过第三边的中点。” 在几何题的证明中应用十分广泛。1

其原因是由于定理中有平行线出现 ，这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等干底边的一半。 并且平分两腰，这样就出现了线段之间的等量关系。 更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在 一起，因此这个定理在几何题的证明中，特别是在证明两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中，起着独特的作用，有时甚至非它莫许。因此凡是题设中有中点出现，就不妨设法应用中位 线定理来进行证明，也许很有效。下面举几个实例来加以说明。1

例：AD是△ABC的外接圆⊙o的直径(D点不与BC点重合)，过D作⊙o 的切线交BC于P，连线OP交AB、AC 于 M、N，求证OM=ON。

分析：从题目所给的条件与所要证明的结论来看，没有明显的联系，为此需要添加辅助线，勾通条件与结论的联系。

鉴于M、N分别在AB、AC边上的一般位置。若过B点作BE//MN分别交AC、AD于E、F， 则证明OM= ON就可 转化为证明BF=EF，也即是要证明F为BE的中点，这时B点在⊙o 上，和题设条件有了明显的联系。在△BCE中BC 是⊙o 的弦。取BC的中点G，如果能证明FG是△BCE的中位线，问题就解决了、因此只须要证明 FG//CE 就行了。而要证明这一 点是非常容易的事情。1

证明 ： 因OD⊥PD、 OG⊥BC、

故O、P、D、G 四点共圆

从而∠FDG=∠OPG

又因BE//OP，故∠OPC=∠FBG

所以∠FDG =∠FBG

因此B、D、G、F四点共圆

所以∠FGB =∠FDB( 或∠FGB一兀一∠FDB )

又因为∠FDB =∠ACB( 或∠ACB 一∠兀一FDB )

所 以∠FGB =∠ACB， 从而FG//CE

而G为BC的中点， 由中位线定理， 可知

F是BE的中点， 即BF=EF

由于FB分之OM=AF分之AO=FE分之ON

所以OM=ON1

方法思考现代教育的功能， 必须由训练记忆、选拔以及向训练素质、促进发展方向转变。教育教学方法和手段必须更加先进，通过优化学生的学习过程，优化教学方法，促进素质教育的实施。 著名教育家布鲁纳认为：“知识的获得是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取的主动参与者。”由此可见，在课堂教学活动中，教师应充分发挥主导作用，从爱护和培养学生的好奇心、求知欲出发，帮助学生自主学习独立思考 ， 保护学生的探索精神，创新思维，营造崇尚真知，追求真理的氛围，为学生的禀赋和潜能的充分开发创造一种宽松的环境。为此，课堂教学一定要分层递进，当代教育家顾冷沅先生认为：“把握好推动学习前进的适度序列，是课堂教学的生命线 ”在新知识的教学活动中，教师要利用学生已有的知识点，这些知识点与新知识的联系有一定的或近或远的距离，这个距离就是学习前进的梯度。教师在刻苦钻研教材的基础上，要对课堂教学进行多方面， 多角度研究、提炼 、摘选分层递进的最佳方案，用电教媒体显示新知识的产生和形成过程，给学生观察、思考和探索的时间， 让学生成为学习过程中的发现者、参与者， 培养学生的创新精神。例如三角形中位线的课堂教学可分四个步骤进行：2

定理的产生过程

用投影显示： ΔABC 中， AD =BD， AE=CE，DE 与BC有什么关系 ?

问同学们能用语言来叙述这一结论吗?

由于教科书受到各种因素的限制，大部分知识都是直接给出，省去了其产生和形成过程。如果教师都直接按课本把知识抛给学生，“直接了当”固然节约了时间，但对于学生来说，缺乏一个完整的认知过程。把知识或方法不是作为过程，而是作为结果直接抛给学生，长此以往越抛越多，学生在头脑中很难形成一个良好的认知结构。因此，课堂教学要呈现知识的发生过程，才能激发学生探索问题、思考问题的积极性，通过学生自己发现概括出结论，不仅培养学生的创新精神，而且提高了学生的观察能力、抽象能力和概括能力，同时也使学生对新学的定理有深刻的印象。2

定理的证明过程

1、要证明一个命题的正确性，首先要做什么?(引导学生分清题设，结论，画好图形，写出已知 、求证)；

2、一般在什么图形中的线段相等和平行?

(引导学生用平行四边形、三角形全等等来证三角形中位线定理，进而按照他们的思维进行探讨：)

怎样作辅助线才能把DE、BC放在平行四边形和三角形中?发现：延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF，由ΔADE≌CFE得AD//且=CF；根据对角线互相平分，判定四边形ADCF是平行四边形得AD//且=CF；过C作CF//AB，与DE的延长线交于点 F，也可以证明AD//且=CF，再由BD=AD，得BD//且=CF，所以四边形DBCF是平行四边形，DF//且=BCF，因为 DE=2分之1 DF， 所以DE//且=2分之1BC。

3、要证明三角形中位线定理还可用什么方法?

(引导学生从新的角度去思考，探索解决问题的新途径，引导学生用上节课学的平行线等分线定理 来证)；

4、引导学生写出证明过程(强调每个学生独立去完成)；

5、引导学生总结解决问题的经验(让学生充分发表自己的见解)：

从学生最熟悉的知识点出发，通过阶梯进性的点拨，着重培养和提高学生分析问题、解决问题的能力；由一题多证，着重培养学生的发展思维能力。2

定理的应用

例1、在ΔABC中，已知 AB=8cm，BC=10cm，CA=12cm，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点， 求ΔDEF的周长。

分析提问：

(1)D、E、F 分别是AB、BC、AC边上的中点 ，则DE、EF、DF是ΔABC的什么线 ?

(2)AB=8cm， 则EF=? BC=10cm， 则DF=?AC=12cm， 则DE=?

(3)ΔDEF的周长是什么 ? 能否自己写出解的过程 ? 直接运用定理，固巩新知。

例 2、求证：顺次连结四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。2

分析提问：

(1)这是一道文字命题，要解决这一问题首先要做什么?

(引导学生根据命题画图， 写出知已、求证)

(2)一般情况下，要证明一个四边形是平行四边形有哪些方法? (引导学生思考证明一个四边形是平行四边形的常用方法：两组对边分别平行，两组对边分别相等， 一组对边平行相等，等等)。

(3)命题中有 “ …四边中点 ……” 引导学生从新的角度思考，探索解决问题的新途径，从直觉思维出发，此题与三角形的中位线定理有关，构建三角形，作辅助线连结BD，利用三角解形中位线定理证。

在这里着重培养学生提取信息 “ ……中点 … …” 是与三角形中位线有关的，由此信息进行联想，产生对信息的加工，处理，转换成要证EH//且=FG，只要证EH//且=2分之1BD，FG//且=2分之1BD即可。达到培养学生解决问题的创新性，提高学生的创造思维能力。2

巩固提高

以提高学生处理综合问题的能力。

分层递进的课堂教学，面向全体学生，在承认学生个性差异的前提下，因材施教，使知识的发生、发展规律与学生的认识规律有机地结合起来，同步进行曲。实施分层教学，分层练习，分层讲评，分层矫正，让各层次的学生在课堂里既各有所得达到基本要求，又能使他们的智能尽量得到发展，差生逐步向中等生转化，中等生向优等生转化，使全体学生的素质得到全面提高。2

本词条内容贡献者为:

何星 - 副教授 - 上海交通大学