[科普中国]-椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程，简称椭圆型方程，一类重要的偏微分方程。早在1900年D.希尔伯特提的著名的23个问题中，就有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。八十多年来，椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。椭圆型方程在流体力学、弹性力学、电磁学、几何学和变分法中都有应用。拉普拉斯方程是椭圆型方程最典型的特例。

定义椭圆型偏微分方程是偏微分方程的一个类型，简称椭圆型方程。这类方程主要用来描述物理只能的平衡稳定状态，如定常状态下的电磁场、引力场和反应扩散现象等。

椭圆型方程是由方程中主部的系数来界定的。对两个自变量的二阶线性或半线性方程

在不等式 成立的区域内，就称方程是椭圆型的。

此时，可以通过自变量的非奇异变换将方程化为标准型

对于高阶线性方程，设阶线性偏微分算子为

其中，。该偏微分算子的主部是

若对 及任意非零向量 都有，则称方程 在点 是椭圆型的。如果中是线性椭圆型方程。

种类线性线性椭圆型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫调和方程）

其中，，这个算子叫拉普拉斯算子 (Laplace operator)，也叫调和算子。

可以说，调和方程是最基本，同时也是最重要的线性椭圆型方程。

非线性对于非线性方程，也可以定义椭圆型方程。

例如，考虑二阶实系数拟线性方程

其中，。如果对任意非零向量， 及，有

就称方程是中的拟线性椭圆型方程。类似地，可以定义高阶拟线性椭圆型方程。1

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学