[科普中国]-向量值函数

我们知道，一元函数是一个由定义域到值域的映射，其定义域与值域都是一维数集．我们要研究的向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数，就是说 n 元向量值函数是x到xn上的映射。我们感兴趣的是取值为二维和三维的向量值函数，即n = 2和n = 3的情形。

定义一个函数，若其值域是一个线性空间或一个线性空间的一个子集，则称此函数为向量值函数。1

引入在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为x = f (t),，y = g(t)，t∈I ，这样点(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲线C ，它是质点的运动路径，它用参数方程来描述。如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P(f (t), g(t))的向量，那么r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j。

定义式r(t) ={f (t), g(t), h(t)}= f (t)i + g(t)j+ h(t)k。

参数方程Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I。

极限与连续引入对于二维向量值函数r(t) = f (t)i + g(t)j，设它在t0的某去心邻域内有定义，如果lim f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)，则称当t →t0 时，向量值函数r(t)的极限存在，其极限为lim r(t)=ai+bj (t→t0)；

如果二维向量值函数r(t) = f(t)i + g(t)j在t0 的某邻域内有定义，且lim r(t)=r(t0) (t→t0)，则称向量值函数r(t)在点t0处连续；

如果r(t)在区间 I 的每个点上连续，则称r(t)为区间 I 上连续的向量值函数。

极限表达式lim r(t)=ai+bj (t→t0)，其中lim f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)。

微分若向量值函数r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)**k，**则向量值函数的微分表达式为：

r'(t) = x'(t)i + y'(t)j+z'(t)k或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学