[科普中国]-开映射定理

开映射定理有一些重要的结果1：

1.如果 是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子 也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) ；

2.如果 是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列( )，只要xn → 0且 就有 ，那么A就是连续的（闭图像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)。

我们需要证明，如果 是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么 就是一个开映射。为此，只需证明 把 内的单位球映射到 的原点的一个邻域。

设 分别为 和 内的单位球。那么 是单位球的倍数 的序列的交集， ，且由于 是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间 不能是可数个无处稠密集的并集，故存在 ，使得 的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球 ，其中心为 ，半径 ，包含在 的闭包内。如果 ，那么 和 位于 内，因此是 的极限点，根据加法的连续性，它们的差 是 的极限点。根据A的线性，这意味着任何 都位于 的闭包内，其中 。于是可以推出，对于任何 和任何 ，都存在某个 ，满足：

且 (1)

固定 。根据(!)，存在某个 ，满足 且 ||y−A x 1||