[科普中国]-拉格朗日函数

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对于一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能，以方程表示为

其中， 为拉格朗日量， 为动能， 为势能。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

拉格朗日量是动能 与势能 的差值：

通常，动能的参数为广义速度 （符号上方的点号表示对于时间 的全导数），而势能的参数为广义坐标 ，所以，拉格朗日函数的参数为 。解析一个问题，最先要选择一个合适的广义坐标。然后，计算出其拉格朗日函数。假定这些参数（广义坐标、广义速度）都互相独立，就可以用拉格朗日方程来求得系统的运动方程。

假设一个物理系统的拉格朗日量为 ，则此物理系统的运动，以拉格朗日方程表示为

其中， 是时间， 是广义坐标， 是广义速度1。

一个物理系统的作用量 是一种泛函，以数学方程定义为

其中， 是系统的拉格朗日量，广义坐标 是时间 的函数， 和 分别为初始时间和终结时间。

假若，作用量的一次变分 ，作用量 为平稳值，则 正确地描述这物理系统的真实演化。从这变分运算，可以推导出拉格朗日方程2。

思考拉格朗日函数对于时间的全导数：

将拉格朗日方程代入，可以得到

定义能量函数 为

则能量函数与拉格朗日函数有以下含时关系式：

假若拉格朗日量显性地与时间无关， ，则能量函数是个常数： 。称这常数 为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。

在分析力学里，一个动力系统的拉格朗日量（英语：Lagrangian），又称为拉格朗日函数，是描述整个物理系统的动力状态的函数，对於一般经典物理系统，通常定义为动能减去势能。

在力学系上只有保守力的作用，则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此，给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。