[科普中国]-边界层理论

边界层

边界层的概念是1904年德国著名的力学家普朗特在海德尔堡第三届国际数学家学会上宣读的“关于摩擦极小的流体运动”的论文中首先提出的。他根据理论研究和实际观察，证实了对于水和空气等粘性系数很小的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，粘性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外粘性的影响很小，完全可以忽略不计。普朗特把这薄层称为边界层，或称附面层。

右图所示大雷诺数下粘性流体绕流翼型的二维流动，在极狭窄的边界层内流体的速度由壁面上的零值急剧地增加到与来流速度同量级的数值，于是在壁面法线方向上的速度梯度很大，即使流体的动力粘性系数很小，但粘性力仍然可达到很大的数值，所以在边界层内的粘性力和惯性力具有同一数量级。由于速度梯度很大，流体内有相当大的旋涡强度，所以边界层内是有旋流动。当边界层内的有旋流动与壁面分离时，在物体后形成一个速度梯度仍较显著的尾迹区域，由于粘性影响，尾迹中旋涡逐渐扩散，旋涡的动能逐渐变成热能而耗散掉。

在边界层和尾迹流以外的区域内，速度梯度很小，因此粘性力比惯性力要小得多，可以忽略不计，而且流动基本上是无旋的，所以可看作是无旋势流。由此可见，在大雷诺数情况下，粘性流体绕物体流动的流场可划分为两个区域：在边界层和尾迹区内的粘性流休有旋流动区域和在边界层和尾迹区外的理想流体无旋势流区域。由于边界层内的流动是渐近地趋于外部主流，所以边界层内外区域的分界线是不明显的，具有一定的任愈性。一般规定与外部势流速度相差1%处作为边界层的外边界，即离壁面达到外势流速度的99%处的垂直距离，定义为边界层的厚度。但要注意的是，边界层的外边界并不是流线，流线是伸入边界层内，与外边界相交的。由实际测量可知，实际上边界层很薄，以机翼为例，通常边界层厚度仅为弦长的几百分之一，可见边界层的厚度大大小于物体的特征长度。

定义的边界层厚度并不是确切的物理量，在实际应用时，可能会由于速度的测量或计算误差的不同而使数值有较大的差异。所以在工程上常采用以下三种与边界层内速度分布有关的、并具有一定物理意义的边界层厚度，它们分别为位移厚度、动量损失厚度和能量损失厚度。

边界层的基本特征(1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小

(2)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度

(3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的，由于边界层内流体质点受到粘性力的作用，流动速度降低，所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加

(4)山于边界层很薄，可以近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值

(5)在边界层内，粘性力与惯性力同一数量级

(6)边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态

分析方法大雷诺数的绕流流动可分为两个区，即很薄的一层边界层区和边界层以外的无粘性流动区。因此，处理粘性流体的方法是：略去粘性和热传导，把流场计算出来，然后用这样的初次近似求得的物体表面上的压力、速度和温度分布作为边界层外边界条件去解这一物体的边界层问题。算出边界层就可算出物面上的阻力和传热量。如此的迭代程序使问题求解大为简化，这就是经典的普朗特边界层理论的基本方法。

边界层方程组不可压缩流体在大雷诺数的层流情况下绕过平滑壁面的情况(见图)。在此考虑二维定常不可压缩流动。规定沿物体壁面的方向为x轴，垂直于壁面的方向为y轴。由于边界层厚度δ比物面特征尺寸L小得多，因此对二维的忽略重力的纳维－斯托克斯方程逐项进行数量级分析，在忽略数量级小的各项后，可近似认为边界层垂直方向的压力不变，从而得到层流边界层方程组为：

连续方程

动量方程

方程组边界条件

在上述各式中，表示流体质点在方向速度分量，表示来流速度，表示动力粘度（动力粘性系数），表示流体密度。

边界层的分离和转捩分离边界层脱离物面并在物面附近出现回流的现象。当边界层外流压力沿流动方向增加得足够快时，与流动方向相反的压差作用力和壁面粘性阻力使边界层内流体的动量减少，从而在物面某处开始产生分离，形成回流区或漩涡，导致很大的能量耗散。绕流过圆柱、圆球等钝头物体后的流动，角度大的锥形扩散管内的流动是这种分离的典型例子。分离区沿物面的压力分布与按无粘性流体计算的结果有很大出入，常由实验决定。边界层分离区域大的绕流物体，由于物面压力发生大的变化，物体前后压力明显不平衡，一般存在着比粘性摩擦阻力大得多的压差阻力（又称形阻）。当层流边界层在到达分离点前已转变为湍流时，由于湍流的强烈混合效应，分离点会后移。这样，虽然增大了摩擦阻力，但压差阻力大为降低，从而减少能量损失。

在定常流动中，边界层分离是逆压梯度和壁面粘性力阻滞的综合作用的结果。粘性流体在顺压梯度区域内流动时，决不会发生边界层分离。只有在逆压梯度区域内，当逆压梯度有足够大时才能发生边界层分离。边界层分离后，边界层的厚度大大增加，推导边界层方程的基本条件已不成立，量级关系也发生了根本变化，所以边界层理论已不再适用。

层流边界层和紊流边界层都能发生分离，但由于紊流内脉动运动引起的动量交换，使边界层内的速度剖面均匀化，增大壁面附近流体的动能，所以紊流边界层比层流边界层承受较大的逆压梯度，而不易分离。

转捩边界层内的流动状态，在低雷诺数时是层流，在高雷诺数时是紊流。当粘性流体绕流物体时，在物体前缘附近是层流。随着离前缘的距离的不断增加，雷诺数也逐渐加大，层流边界层流动随雷诺数增加会出现不稳定现象。流体中不可避免地存在着扰动，使层流发生变化，向紊流过渡，最终完全变成了紊流。层流向紊流的过渡称为转捩。

边界层理论的历史和发展背景1755年由欧拉（1707-1783）建立的理想流体的运动方程奠定了流体力学的基础，后经拉格朗日（1736-1813）、拉普拉斯（1749~1827）等在数学解析方法上进一步的发展和完善，形成了流体力学的一个重要分支——理论流体力学。它是运用严密的数学工具研究无粘性的理想流体流动问题，但由于忽略了流体实际存在的粘性作用，所以根据理论流体力学纯数学分析得到的理论计算与实际结果不尽相符，甚至差别很大。例如与欧拉同一时期的达朗贝尔（1717-1783)用理论确定物体在理想流休中运动的阻力等于零这个出乎意料的结果，被称为达朗贝尔疑题。由此可见，在研究阻力问题时。理想流体理论已无能为力。1

19世纪中随着航海、水利工程等的迅速发展，流体力学的另一个重要分支，研究不可压缩粘性流体流动的水力学得到很大的发展。它是建立在大量实验测量的基础上。当时如哈根、泊肃叶、雷诺等用实验研究水和其他粘性流体在管道和槽渠中流动时的阻力和压强损失问题、得到的有关粘性流体的实验研究成果，有助于解决某些工程实际问题。但由于水力学在理论指导上的不足，由实验成果得出的经验公式和半经验理论公式有一定的局限性。于是在19世纪中叶产生了粘性流体运动的理论，1827年纳维尔在欧拉运动微分方程中加上粘性项，第一个得到粘性流体运动微分方程。1846年斯托克斯严格地导出了这个方程，称为纳维尔-斯托克斯方程，简称N-S方程。虽然N-S方程对粘性流体流动问题的研究分析有所帮助，但对这个方程数学上的求解是十分复杂和困难的。1851年斯托克斯对N-S方程作了某些简化，略去方程中的惯性项，也就是在非常缓慢的流体流动条件下，计算出球体在流动的粘性流体中所受到的阻力。

提出到20 世纪初，航空工业的发展，需要解决粘性流体中较大速度的物体运动问题，促使粘性流体运动的理论大大地向前推进。1904年普朗特（1875-1953)在德国海德尔堡第三届国际数学家学会上宣读题为“关于摩擦极小的流体运动”的论文，建立了边界层理论。他根据对水槽中水流实验的观察分析，提出边界层的概念：粘性极小的流体绕物体流动时，在紧靠物体附近存在着一层极薄的边界层，其中粘性起着很大的影响。而在边界层外，流体中的粘性可以忽略不计，可认为是理想流体。由于边界层极薄，经简化N-S方程得出普朗特边界层方程，对过去不可理解和难以解答的现象，如流体阻力问题，给予明确的解答。普朗特建立的边界层理论，改变了长期以来理论流体力学和水力学相互脱节的状况，将理论与实践紧密地联系在一起，形成了理论与实验并重的现代流体力学。

发展1907年布拉修斯成功地应用边界层理论计算在流体中运动物体的摩擦阻力。1921年卡门和波耳豪森提出了边界层动能积分方程，以计算边界层问题，这个方程经霍尔斯坦-博伦（1940)和瓦茨进行简化和改进，到现在还被广泛应用。另外边界层动能积分方程和热能积分方程分别由莱本森和弗兰克尔提出。这三个边界层的近似计算方法使边界层理论在工程界中很快地推广开来。1925年普朗特提出的混合长度理论和1930年卡门提出的相似性理论，将边界层理论推广到紊流边界层、射流和物体后的尾迹流中去。从层流向紊流的转捩现象是流体动力学中的基本现象。早在19世纪末雷诺就首先对转捩现象进行了研究。1914年普朗特做了著名的圆球实验，正确地指出：边界层中的流动可以是层流的，也可以是紊流的，还指出边界层分离的问题，因此计算阻力的问题是受这种转捩支配的。从层流向紊流的转捩过程的理论研究，是以雷诺的假设为基础的，即承认紊流是由于层流边界层产生不稳定性的结果。1921年普朗特开始进行转捩的理论研究，1929年获得成功。当时托尔明从理论上算出零冲角平板转捩的临界雷诺数，后被别人所进行非常仔细的实验所证实。稳定性理论能够考虑到对转捩有影响的压强梯度、抽吸、马赫数和传热等许多因素。这个理论已得到很多重要的应用，如设计阻力非常小的层流翼型。

1904年普朗特发表边界层理论，除解决了定常平面边界层问题外。还解决了最简单的旋转轴对称的空间边界层问题，而一般的空间三维边界层问题虽然列维-齐维他在1929年早已提出，但长期以来还是靠实验方法进行研究。塞尔斯、莫尔、施里希廷、柯克-哈尔相继发表了关于三维边界层的综述文章，柯姆普斯迪-海特研究了三维紊流边界层的问题，但由于许多三维边界层流动的图像和物理特性太复杂，长期以来难以进行数值处理。目前所有的三维边界层的理论方法距离实际应用还很远。

在20世纪的初期和中期，随着航空用涡轮机械制造以及现代的火箭和人造卫星喷气推进技术发展，可压缩流动中的边界层理论也得到了迅速的发展。在可压缩流边界层中除速度边界层外，还有温度边界层。1910年普朗特把边界层的概念应用于热传递，1921年波耳豪森首先求得平板层流温度边界层的近似解，后来奥斯特勒克作出更精确的计算。由于可压缩流边界层方程组是非线性偏微分方程，求解仍很困难。密塞斯、卡门-钱学森、克罗柯等设法通过坐标变换，把可压缩层流边界层方程变换成为与不可压缩层流边界层相近似的形式，以后伊林沃思、霍华斯和史土瓦逊作了某些改进，致使可压缩层流边界层问题较易进行数值计算。而对于可压缩紊流边界层的研究还限制在普朗特混合长度理论等的半经验理论基础上，并对压缩性的影响作某些假设，德律斯特首先在这方面作了研究。以上这些研究作对可压缩边界层理论的进一步发展起了很大的推动作用。