[科普中国]-希尔伯特转换

在数学和信号处理中，希尔伯特变换（Hilbert transform）是一个对函数产生定义域相同的函数的线性算子。

概述在数学和信号处理中，希尔伯特变换（Hilberttransform）是一个对函数u(t)产生定义域相同的函数H(u)(t)的线性算子。

希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号u(t)的解析表示。这就意味着将实信号u(t)拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和分析。等价地说，它是奇异积分算子与傅里叶乘子的一个例子。

希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与希尔伯特核的卷积。然而更常见的情况下，对于定义在实直线R（上半平面的边界）上的函数，希尔伯特变换是指与柯西核卷积。希尔伯特变换与帕利-维纳定理有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变换相联系起来的另一种结果。

希尔伯特变换是以大卫·希尔伯特来命名的，他首先引入了该算子来解决全纯函数的黎曼–希尔伯特问题的一个特殊情况。1

历史希尔伯特变换产生于希尔伯特1905年关于黎曼有关分析函数的问题，后来被称为黎曼-希尔伯特（Riemann-Hilbert）问题。希尔伯特的工作主要是关于圆上定义函数的希尔伯特变换。他早些时候与离散希尔伯特变换有关的工作可以追溯到他在哥廷根给的讲座。结果后来由HermannWeyl在他的博士论文中发表。舒尔对希尔伯特关于离散希尔伯特变换的结果进行了改进，并将它们扩展到整数情况。在1928年，马塞尔·里斯斯证明，希尔伯特变换可以被定义u在LP(R)(1≤p