[科普中国]-单位载荷法-

单位荷载法介绍及其表达形式

单位载荷法是英国的J．C．麦克斯韦于1864年、德国的O．莫尔干1874年分别独立提出，故又称麦克斯韦－莫尔法。它常用于解决杆、杆系结构和薄壁结构的问题，对静定结构和静

不定结构都适用。单位载荷法的原理如下：设结构上作用一个真实的广义力系(见广义力)Pi(i=1，2…，n)，并产生变形(图1)，欲求结构上j点在Pi作用下的位移，可在j点处加一虚设的单位载荷Pj=1(图2)。该虚设载荷的形式必须同所求位移相对应。求线位移时，虚设载荷取单位力；求角位移时，虚设载荷取单位力矩。根据虚功原理，Pj=1在实际力系Pi引起的沿Pj方向的位移△ji上所作的外虚功△ji，在数值上等于Pj引起的内力在实际变形过程中所作的内虚功(包括弯曲的内虚功、拉伸或压缩的内虚功和剪切内虚功)3，即

上式右端有两组广义内力：M、N、Q分别为实际载荷引起的弯矩、轴力和剪力；，，分别为虚设单位载荷引起的弯矩，轴力和剪力；K是与结构截面形状有关的系数；ds为结构跨度微元；为求和号，表示对所有构件求和；E、G分别为材料的杨氏模量和剪切模量；A为构件的截面积；I为构件截面的惯性矩。

关于内力的正负号有如下规定：轴力N以拉为正；剪力Q以使结构微段顺时针转动为正；弯矩M只规定乘积的正负号，当M和使杆件同侧纤维受拉时，取正号。

根据各类结构的特点，位移计算公式可作相应简化：

①桁架位移计算公式：式中l为桁架中所考虑杆件的长度。

②梁和刚架位移计算公式：

③桁架混合结构位移计算公式：

④拱的位移计算公式：

单位载荷法的基本原理单位载荷法将实际状态作为k状态，并应用虚力原理导出结构位移计算的一般公式。虚拟的i状态的载荷可以根据计算需要进行假设，它与实际状态是无关的。如果假设虚拟的i状态只有一个单位载荷Pi=1，则虚功方程式
(4-19)化为式(4-20),见右图，在式(4-20)中，因k状态为实际状态，故省略下标k，du、dφ、dv即表示实际状态结构杆件微段的变形；由虚设单位载荷Pi=1产生的内力表示为，，△i则表示在虚设单位载荷Pi=1处沿载荷方向的结构实际位移。5

在式(4-20)中，虚拟状态的单位载荷可以根据计算需要而设置在结构的任意位置，式中的待求位移△i,既可以是一般的线位移，也可以是任意的广义位移。但必须注意，当所求的位移是广义位移时，则设置的单位载荷也应该是与广义位移对应的广义单位载荷。这里广义位移与广义力的对应关系与式(4-19)计算外力功时所作的说明是一致的。当△i为线位移时，对应的Pi应设置为单位力；△i为角位移时，对应的Pi应设置为单位力偶；当△i为相对线位移时，对应的Pi应设置为一对大小相等、方向相反的单位力；△i当成为相对角位移时，对应的Pi应设置为一对大小相等、方向相反的单位力偶。5