[科普中国]-数学地图学

数学地图学的提出

地图制图学的历史发展进程，象其他学科一样，随着整个人类生产活动的历史发展而进步。地图以有了严密的数学基础而成为科学作品，使它同一般的写景图画有了本质的区别。

不少古代的地图学家，以创立地图的某种数学依据(地图投影)而闻名，如众所周知的墨卡托、托勒密等尤为著名。我国晋代的地图学家裴秀，亦以提出了富有数学涵义的制图六体使制图技术方法有科学依据而在世界上享有盛誉，例如Herrmann认为裴秀可以和托勒密相提并论。在那时已经出现了矩形网格制图法。事实上，随着时代的进步，任何一个学科，都以日益广泛地运用数学方法而获得迅速发展，其速度是旧时代所不能想象的。

如果说，传统的地图制图学主要是在建立地图数学基础方面运用了较多和较复杂的数学方法，而在其它阶段明显的比较少，那末在地图制图学发展到自动化制图的阶段中，一定要大大地增加数学方法的运用。这是地图制图技术从传统的方式转变到自动制图的必然规律。

国际制图协会曾提到要解决人类面临的三大问题(即生产力的合理配置、自然资源的合理使用以及与自然作斗争)，需要大量的现代地图，估计每天要出版上千幅地形图，加上各种专题图，则为数更大，没有自动化制图要完成这一任务是难以达成的。

要发展自动化制图，一个基本问题是解决地图制作过程的数学描述，或者称之为建立地图的数学模式。这是地图制图工作者面临的新任务。

过去二十年，地图制图专业中建立地图数学基础的一个专门分支科目在专业教育中是作为“地图投影”一门课程出现的。或者推而广之加进了一部分地图量算内容而称为“数学制图学”，看来随着地图科学的发展，为了加强地图学与数学的联系，或者说地图制图技术要吸取大量的数学方法，有必要扩展“数学地图学"这一专业科目。(在外文中这一科目名称都很一致，例如英语为“Mathematical Cartography”，在中文中为更明确，似宜称为“数学地图学”)。

在国外，以东德德累斯顿工业大学地图制图专业新教学计划为例，反映了这一发展趋势，其中一门“Mathematische Kartographie”包含了三部分内容，为球面三角、地图投影、数理统计。另一门新课程是“电子数字化处理与自动化基础”，前后延续达五个学期之久，这显然包含着许多基本的数学方法。

在宇航飞行器对地球和其他星球的摄影成果质量日益提高的情况下；显示了这种资料对于地球的专题制图和其他星球制图的巨大可能性，为此要解决宇航摄影资料用于制图目的的数学处理。其任务是宇航像片的空间定位和转换地图投影。而对于其他星球，则要设计适宜的星球图投影。

以上例子说明了原来关于地图投影(或原称数学制图学)的内容已经显得狭窄，不能适应地图科学的发展要求。因此，提出把“数学地图学”的内容加以扩展和提出与时代相适应的任务是有必要的。1

数学地图学的主要内容研究地图数学基础的建立与数学的应用。主要包括：

①地图投影理论，即地图投影的设计原理，常用投影的标准化及投影变换的数学方法；

②地图的各种数学模式；

③地图概括中数理统计原理与方法；

④表示数量特征的地图（如等值线图、统计地图）、评价地图、预报地图、合成地图的数学原理；

⑤地图量算的数学方法；

⑥计算机制图的数学原理与方法；

⑦地图应用的各种数理统计方法与数学模型的建立。

其中地图投影理论已有较深入研究，数理统计方法、地图量算、机助制图数学方法的应用也有较好基础，地图应用的数学方法有待深入研究。2

数学地图学的任务国外认为当前有下列任务：建立合理的地图投影命名系统，研究地图投影标准化原则，编辑地图投影集，解决数学制图学的新问题，用航天摄影测制地图时的地图投影问题以及其他星球测图的投影问题，探索新的地图投影以及研究和完善地图图形的纠正方法。

除了上述这些任务之外，下面我们从各方面列举一些内容或发展的现状来谈谈“数学地图学”，可能扩展的内容。

建立合理的地图投影命名系统这是地图投影的基本理论问题之一，也就是恰当地解决分类系统问题。迄今不是沿用旧有分类就是不够完备化，而且逻辑性不强，或者缺乏从本质上的分析，而使问题逗留在旧的范畴中。地图投影的分类，有内在和外在的不同标志。内在的是属于本质的(如按变形性质)，外在的标志是经纬网形状，而这后者是一定条件下(例如正轴投影)才具有的特征。

对于地图分类系统的研究从变形椭圆的本质上来分析，或者说，分析变形椭圆有无等长方向作为基本的赳分是适宜的。这样最初的基本划分将可分为椭圆型投影(任一点处皆无任何等长方向)——等角投影即包含于其中；抛物型投影(任一点处都有唯一的等长方向)——等距离投影即属于此；双曲型投影(任一点处都有二不同的等长方向)——等面积投影包含于其中。这三大类别的关系如下图所示，有斜线的部分是椭圆型投影范畴(A)，a=1或b=1的两条线代表了抛物型投影；空白部分是双曲型投影范畴(B)。

由图可见，连接原点0与(1，1)的直线是直角的分角线(a=b)，代表了等角投影。在(B)域中过(1，1)的双曲线ab=1代表了等面积投影。代表等距离投影a=1或b=1的直线是(A)与(B)两个区域的分界。分别位于(A)域或(B)域的线条代表的投影以及等距离投影是属于单纯的投影。穿越(A)、 (B)两个区域的线条(如上图中的l)，则是某种混合投影。这种新的分类，将是一种较合乎逻辑的分类法。值得结合地图投影的实践来深入研究。

随着制图自动化的发展，摆在“数学地图学”面前的一个迫切任务是解决地图投影的交换问题。不解决这个问题，除了系列性地图(如地形图)的相似变换外，不同投影，特别是变形性质与形状差别较大的地图资料与所编图投影之间自动转绘是不可能的。这就要解决起始地图投影1

和所编图的投影

之间的变换。理论上由（1）求解φ、λ，即

代入（2）可得：

上列方程的解法，只是对个别投影进行过研究。对于大多数投影要确定地理坐标对直角坐标的精确解析关系困难甚大或者是不可能的。为此不同学者考虑了几种不同的方法。例如在两种投影直角坐标之间建立直接联系，即把X、Y写成x、y的多项式，以及用最小二乘法逼近和分步解法等。究竟哪种情况下为可能，哪种情况下为不可能，这就要加以研究。也就是说寻求既适用于一定区域范围，又能保证一定精度的近似解法是很重要的课题。

从地图制图自动化三个基本阶段(即资料收集与数字化阶段、资料处理阶段、自动绘图阶段)看来，第二阶段的关键问题实质上是制图综合的自动化。实际上，制图综合乃是一种最优逼近而且它是可以用数学优化模式来表述的。就综合过程而言，它包含着若干部分的处理过程，即地图物体的选取、图形的组合、质量的合并、化简与位移。这些过程是互相依存和互相制约的。这就使得建立综合模式非常复杂，迄今还没有可应用的制图综合的完整模式。目前存在一些可用的部分解决方法。例如Topfer的根式规律

常用于物体的选取。这个规律在不同国家制图综合理论与实践中均得到较广泛的使用。但不同情况下要补充以适当的系数和予以完善。又如在曲线化简方面，要用到不同的光滑化的算法，以至用到滤波理论，在点的化简中要用到“凝聚”方法。这些都要运用逼近理论中的最优估计。也许制图综合理论可以用模糊数学来表述。

对于大量地图信息的预先处理，众所周知，要运用概率论和数理统计方法。

地图是各种信息的集合。在总的集合中，可以分割成许多子集合。研究制图物体和现象的分布的数学模式，实际上就是集合代数的运算，可用以抽象地表达不同比例尺地图上信息的相互关系。

要解决由地形图多方面的用途以及因此引起的各种不同用图者对地图提出的具有矛盾性的要求，这就要求编辑、编图人员运用对策论来研究。有的文献中还提到要运用控制论、拓扑学、图论等基本理论以建立地图的数学模式。

总结在地图的实际应用方面，地图的量算技术，特别是连系到现代计算机和数字化器的运用，要研究各种数据的量算方法。也要研究不具备上述设备的条件下， “常规”的地图量算方法。

总之，地图学作为地理和测绘学科的结合部，随着电子技术的发展，已到了突变的阶段。虽然全部自动的编绘技术还是在实验阶段，但光辉的前景已经展示在前面。地图制图工作者要有足够的思想认识，同时要有基本理论的准备。这就是要学习、研究和充分运用数学的基本方法，特别是在专业教学计划中要加强数学基础课。相应地，在专业课中要使“数学地图学”的内容，丰富到足以适应时代的要求。这当然不是说，要把现代地图科学内容都容纳到原来的一门科目中，那是不可能的。但是把“数学地图学”从原来局限的内容适当地加以扩展很有必要。根据上面列举的一些数学方法在地图制图学中的运用，是否可以提出以下一些新的内容和任务：

为宇航资料应用于地图制图解决空间定位和摄影变换问题；

用于地图资料处理的数理统计的基本方法；

建立地图模式的数学方法的探索；

地图综合自动化的数学理论基础；

集合代数、信息论等数学分支用于理论制图学的基本原理，等等。

至于从属于原来“地图投影”范畴的内容就不列举了。

这里提出的是处在当前地图制图科学的发展要求很高而现实的地图专业教育和科学研究落后于形势的情况下，对一个科目内容向广度、深度发展的一些看法。显然，随着专业科学水平的提高，形成一个新的专业基础科目(假定说“地图制图数学原理”)，也并不是意外的事。1