[科普中国]-椭球面大地测量学

研究领域

椭球面大地测量学研究的主要问题是：椭球面上大地线和法截线的性质；椭球面三角形的解算；大地测量主题的解算；椭球面投影到平面上的问题，以便将大地坐标换算为平面坐标;一椭球面同另一椭球面的关系,以实现不同大地坐标系的换算。

椭球面上点的表示和点间的联系：参考椭球面上一点G的坐标用大地经度L和大地纬度B表示（图1[地球椭球的几何元素]）。1

大地经度L为 G点的子午面PGP′同起始子午面PEP′间的交角,从起始子午面分别向东和向西量度，各由0°～180°；向东为东经，向西为西经。大地纬度B为椭球面上G点的法线GN与赤道面 EQE′的交角，从赤道面分别向北极P和南极 P′量度，各由0°～90°；向北为北纬，向南为南纬。 椭球面上两点间用大地线连接。大地线是椭球面上两点间距离最短的曲线（图2[大地线]）。

设AB为椭球面上的两点，PP′为椭球的短轴，A和B点的法线分别为AN和BN;由A点法线与B点构成的法面ABN一般不同由B点法线与A构成的法面BANB重合,它们同椭球面的截曲线分别是AB和AbB，称为相对法截线。为了消除椭球面上两点间连线的这种非惟一性，大地测量中规定用椭球面上A、B两点间的大地线 AcB（通常位于两条相对法截线之间）为地面上相应两点的投影线。椭球面上的一切计算公式都是依据大地线推导的。例如，利用大地线的特性及其与法截线的关系，可以推出法截线化为大地线方向的改正公式，照准点高出椭球面所引起的方向改正公式，以及地面上测量的距离归算至椭球面上的改正公式。

大地测量主题解算

一般把在椭球面上解算点的大地坐标和点间的边长、方位角这一类大地测量学的基本问题称为大地测量主题解算（图3[ 大地测量主题解算示意图]）。

已知点1的大地经度L1、大地纬度B1,以及点1至点2的大地线长度S和大地线方位角A12，计算点 2和大地经度L2、大地纬度B2和点2至点1的大地线方位角 A21，称为大地测量主题正算问题。已知点1和点2的大地经度L1和L2，以及大地纬度B1和B2，计算两点间的大地线长度S及其两端的大地线方位角A12和A21,称为大地测量主题反算问题。大地测量主题的解算，实质上就是解算图3[ 大地测量主题解算示意图]

所示的椭球面极三角形。由于椭球面三角形不如球面三角形那样简单，解算比较复杂，通常应用级数展开公式，并根据所需要的精度来决定级数的项数。解算的复杂性导致多种多样的解算方法，归纳起来有3种类型：

第一类是以勒让德级数为基础，将两点的经度差△L、纬度差△B和方位角差△A展开为大地线长度S的幂级数，其中各系数含有B、△L和A对S的各阶导数，它们都需要利用大地线的微分关系式来求定。

第二类是利用一个辅助面作为解算的过渡面，例如经典的贝塞尔方法，就是采用一个球面作为辅助面，先确定椭球面上各元素同辅助球面上各元素之间的相应关系，再将椭球面上的已知元素换算到辅助球面上，在辅助球面上求解大地测量主题。最后，将辅助球面上解算的结果再换算至椭球面上。

第三类是利用大地线的基本微分方程，采取数值积分的方法，直接解算大地测量主题。这类解法的公式简单，但用于中、长距离时的重复计算较大。

在大地控制网的洲际联测中，在无线电导航以及洲际导弹发射技术中，中距离（1000公里以下）和长距离（1000公里以上）的大地测量主题解算有着重要作用。

大地坐标系的换算

大地坐标系是由所采用的椭球参数（长半轴和扁率）以及椭球在地球体内的定位确定的。如果采用了新的椭球，即改变了椭球参数；或者改变了椭球的定位，即改变了大地原点的起算数据；大地坐标系都将发生变化。大地坐标系有了变化，就要重新计算大地控制网中各点的大地坐标。如果根据新的起算数据和新的椭球参数，重新解算大地测量主题，计算工作量将非常繁重。实际上，椭球参数改变或定位改变所引起的大地坐标系各参数的变化都是很小的。因此，可以利用数学关系建立一种公式，在坐标变换时用以直接计算大地控制网中每一点大地坐标变化和每一边方位角变化的改正数。这种公式称为大地线微分公式。由于参考椭球重新定位（椭球参数不变）所引起的大地坐标和方位角改正数公式，称为第一类微分公式。由于椭球参数的微小变化所引起的大地坐标和方位角改正数公式，称为第二类微分公式。

两个大地坐标系之间的关系，可用空间直角坐标系的形式来表达，即把大地点在空间直角坐标系中的坐标变化，用以两个椭球为中心的空间直角坐标的变化和椭球参数的变化来表示。这样建立的关系是三维的，而且比较简捷，今后已广泛使用。

椭球定位时，一般都使椭球的短轴平行于地球的平自转轴，但这种平行关系是由拉普拉斯方位角条件来保证的，而实测的天文方位角总是带有一定的误差。因此，不同的空间大地坐标系的三轴之间不可能完全平行，总是存在着微小的差异，而形成一个角度，这个角度称为欧拉角。在进行大地坐标系的换算时，应顾及欧拉角的影响。如果两大地坐标系中所使用的尺度不一致，还应顾及由此引起的差异。2

大地测量投影大地控制网在平面上计算和平差，要比在椭球面上简单得多。因此，当区域不大时，可将椭球面上的几何元素归算到平面上，然后进行平面上的计算和平差，并将所得的平面坐标直接用于测图。为此，必须采用某种投影法来建立大地点在椭球面上的大地坐标与其平面直角坐标之间的严密的数学关系。满足大地测量要求的投影法，称为大地测量投影。

由于椭球面是一个不可平展的曲面，投影时必然要产生投影变形，不可能要求椭球面上图形的形状和面积以及两点间的距离和方向投影后都保持不变。在选择投影法时，要求采用投影变形小，计算公式简单的投影法。现代大地测量都采用正形投影法，数学上称为保角映射或保形映射。椭球面上的无穷小图形经过投影后，其形状保持不变。中国在1949年以前采用兰伯特圆锥投影，此后，改用高斯-克吕格尔投影。两者都是正形投影。

大地测量学研究在广大地面上建立国家大地控制网，测定地球形状、大小和重力场的理论、技术与方法的科学。测量学与地球物理学相互交叉的学科。它以地球和空间星球为测量对象。

在17世纪以前，大地测量只是处于萌芽状态， 但是人类对于地球形状的认识有了较大的突破。继牛顿 (I.Newton，1642～1727) 于1687年发表万有引力定律之后，荷兰的惠更斯(C.Huygens，1629～ 1695) 于1690年在其著作《论重力起因》中，根据 地球表面的重力值从赤道向两级增大的规律，得出地球的外形为两极略扁的论断。1743年法国的克莱洛发表了《地球形状理论》，提出了克莱洛定律。惠更斯和克莱洛的研究为物理学观点研究地球形状奠定了理论基础。随后又有望远镜、测微器、水准器等的发 明，测量仪器精度大幅度地提高，为大地测量学的发展奠定了技术基础。因此可以说大地测量学是在17 世纪末叶形成的。到了20世纪中叶，几何大地测量 学和物理大地测量学都已发展到了相当完善的程度。 但是，由于天文大地测量工作只能在陆地上实施，无法跨越海洋；重力测量在海洋、高山和荒漠地区也仅 有少量资料，因此对地球形状和地球重力场的测定都未得到满意的结果。直到1957年第一颗人造地球卫星发射成功之后，产生了卫星大地测量学，才使大地测量学发展到一个崭新的阶段。在人造卫星出现后的 不长时间内，利用卫星法就精密地测定了地球椭球的 扁率。而且不少国家在地面建立了卫星跟踪站，从而为建立全球大地坐标系奠定了基础。此外，利用卫星 雷达测高技术测定海洋大地水准面的起伏也取得了很好的成果；利用发射至月球和行星的航天器，成功地 测定了月球和行星的简单的几何参数和物理参数。卫星大地测量学仍在发展中，并且有很大的潜力。

大地测量学的主要研究内容：①常规大地测量学。包括三角测量、导线测量、水准测量、天文测 量、重力测量、惯性测量、椭球面大地测量、地球形 状理论和测量平差计算；②卫星大地测量学。它是采 用在地面上测定宇宙空间的人造卫星位置的方法来解决大地测量学的问题，即以卫星大地测量几何法来建立卫星大地网，作为国家基本控制网的高一级控制， 或直接建立全球卫星大地网，求定测站点的大地坐标；以卫星大地测量动力法来推求固定的和随时间变化的地球引力场参数，确定地球形状和大小、大地水准面差距、重力异常、垂线偏差和地心坐标等。其特点是： 视野宽广，覆盖面大，速度快，精度高；受大气折光和垂线偏差影响小，可全天候观测；各测站之间无需通视，边长不受通视条件限制；建立全球地心坐标系，避免常规大地测量数据的两重性和局部性。 电子计算技术广泛用于测量平差计算及大地测量计算以后，不仅解决了大规模数据的严密平差计算问题，而且对测量计算的方法也产生了影响。过去按最小二乘法平差，要求各观测数据是独立的，现在平差可以考虑相关数据。

几何大地测量学亦称天文大地测量学。经典大地测量学的主要分支。是研究用几何法测定地球形状和大小以及地面点几何位置的学科。它采用一个同地球外形最为接近的旋转椭球代表地球形状，用天文大地测量方法测定该椭球的形状和大小，并以它的表面为参考面，研究和测定大地水准面，建立大地坐标系和推算地面点的几何位置。

地面点几何位置的测定包括水平控制测量和高程控制测量两部分。水平控制测量的基本方法有三角测量、边角测量和导线测量等；高程控制测量方法有水准测量和三角高程测量等。分别用于建立一个国家的水平和高程控制网。3