[科普中国]-最或然值

最小二乘准则

最小二乘法是求解被测量的最或然值的基本方法。按照最或然值的定义，它是最接近于真值的值。设一组观测值为x1、x2、……、xn，待求的最或然值为X，则它们的残差为（），最小二乘准则就是选择X，使得残差平方和为最小，即X必须满足：1

等精度观察平测最或然值计算等精度观测值的最或然值就是算术平均值。

在测量工作中，除了要对观测值评定精度外，还要确定观测量的最可靠值。由于任何观测量的真值是难以求得的，因此观测量的最可靠值只能是最接近真值的值，称为最或然值，亦称最或是值。在只有一个独立观测量时，我们可以用多次观测的方法，取同精度观测值的算术平均值作为观测量的最或然值。

用算术平均值作为最或然值的原理设对某量进行了n次同精度观测，得观测值L1、L2、L3、Ln…，该观测量的真值为X，则各观测值产生的真误差Δ为：

…………

取和有：

故：

设x为观测值的算术平均数，则：

设：

于是，X可表达为：

δx也就是算术平均值x的真误差。由偶然误差的第四个特性知：

于是：

即当观测次数无限多时，算术平均值就是观测值的真值。但实际工作中，观测次数不可能有无限多个，那么在有限的观测次数时，观测值的算术平均值是所能求得的最接近真值的值，即观测量的最或然值。2

最或然值的中误差算术平均值－最或然值的中误差M为：

m为独立观测值的中误差。3

算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，观测的次数愈多，精度愈高。所以用多次观测取其平均值，是减小偶然误差影响、提高精度的有效方法。

在观测值的中误差m不变时，算术平均值的中误差M与观测次数的平方根成反比，当n愈大，精度的提高就愈慢。过多地增加观测次数来提高精度是不经济的，而应该设法来提高单次观测的精度，例如提高仪器的质量和改进观测方法。

用最或然值中误差求观测值中误差根据公式计算中误差时，首先要已知观测值的真误差。但实际工作中未知量的真值除少数例子外一般是不易求得的，所以真误差Δ一般也无法求得。因此在多数情况下我们只能按观测值的最或然误差来计算观测值的中误差。下式就是用最或然值中误差求观测值中误差的公式：

或

其中，v为最或然误差。

非等精度观测最或然值计算权和单位权如果测量是在不同的观测条件进行的，则各观测值的质量也就不同，因而它们的可靠性也不相同。若用简单的算术平均值求最或然值显然是不合理的。只有顾及到各观测值的可靠性来求最或然值才能认为是满意的。在测量中常用一个数字来表示各观测值的相对可靠程度，叫做“权”（weight），以p表示。一个观测值的权愈大，表示它的观测质量愈高，可靠程度愈大，因而该观测值对求最或然值应该给予较大的影响，也可以说，权就是每个观测值在求最或然值中所应占据的比重。

观测条件的好坏，影响观测质量的高低；观测条件愈好，观测值的中误差愈小，观测结果愈可靠，权也应当大，因而根据观测值的中误差来确定观测值的权是很自然的。在测量中，定义权与观测值中误差的平方成反比，即：

若是非等精度观测时，最或然值等于加权平均值（或称广义算术平均值），即等于每个观测值与其对应的权的乘积之和除以权之和。

式中μ是任意常数， 也可说是各观测值相互比较的共同标准。在一组观测值中，μ是一个定常数。

P值是可以任意确定的，但为了计算上的方便和实际应用，我们给P一个确定的含义。即给定某一观测结果的权为1（单位）。权为1叫做单位权（unit weight）。对应于权为1的观测值为单位权观测值。

权平均值－最或然值设最或然值设某量的非等精度观测结果为l1、l2、……、ln。其权分别为p1、p2、……、pn。则观测值的权平均值L为：

或

L0是近似值， ,

L是非等精度观测列观测值的最或然值。非等精度权平均值的检核公式是： 。

最或然值的中误差最或然值中误差公式为：

单位权中误差与观测值中误差单位权中误差μ在非等精度观测列中是计算各观测值的权及中误差的共同标准。单位权中误差公式的证明较繁，从实用角度出发，仅给出计算公式。

如已知观测值l1、l2、……、ln的权为p1、p2、……、pn和相对应的真误差为Δ1、Δ2、……、Δn，则：

式中n为参与权平均值计算的观测值的个数。

如观测值的真误差为未知数，则先由最或然值求出最或然误差，再按公式计算。

单位权中误差μ求出后。相应观测值的中误差mi可求出。依权的定义有：3