[科普中国]-大地纬度

概述

大地纬度，指的是将地球表面点投射到地球椭球体上，投影点法线方向与赤道平面的夹角为该点的大地纬度。大地纬度和大地经度一起可以确定地球表面点在地球椭球体上的位置。

天文-大地测量研究结果表明，最接近大地体的数学形体是具有微小扁率的旋转椭圆体，它以地心为中心，连接南、北两极的极轴为旋转轴，这种椭圆体叫做地球椭圆体（或参考椭圆体）。所谓子午线（或经线），就是用通过旋转轴的平面来截割地球椭圆体表面得出的一组截线，这些截线是彼此相同的椭圆（图1）：

长轴在赤道面上，短轴即极轴。这种椭圆就叫做子午椭圆。

设是其中某个椭圆上的任意一点。这椭圆在点的切线是，法线（与切线垂直）是，法线与赤道平面所构成的角叫做点的大地纬度。1

数学表示在测量学和制图学中，需要把椭圆在点的弧微分和曲率半径表示成大地纬度的表达式。讨论如下。

如图1，切线和横坐标的交角为。根据导数的几何意义，有

和

相比较，就得到

或

由解析几何知道，椭圆的离心率（第一离心率）为

因而有

代入的式子，就得到

为了把点的横坐标和纵坐标表示成纬度的函数，将上式代入，有

或

在这个等式中，用的式子来表示比值，有

再利用三角公式，有

或

因而得到

再将值代入的式子，得到

这样，等式和就把椭圆上任一点的坐标、表示为纬度的函数。1