[科普中国]-共线方程

方程

式中：

x，y 为像点的像平面坐标；

x0，y0，f 为影像的内方位元素；

XS，YS，ZS 为摄站点的物方空间坐标；

XA，YA，ZA 为物方点的物方空间坐标；

ai，bi，ci （i = 1,2,3）为影像的 3 个外方位角元素组成的 9 个方向余弦。1

推导

如图1所示，S 为摄影中心，在某一规定的物方空间坐标中其坐标为（XS，YS，ZS），A 为任一物方空间点，它的物方空间坐标（XA，YA，ZA）。a 为 A 在影像上的构像，相应的像空间坐标和像空间辅助坐标分别为（x，y，-f）和（X，Y，Z）。摄影时 S、A、a三点位于一条直线上，那么像点的像空间辅助坐标与物方点物方空间坐标之间有以下关系：1

则 ①1

像空间坐标与像空间辅助坐标有下列关系：

将上式展开为

将①式带入上式得到共线方程。1

方向余弦像点空间直角坐标的旋转变换是指像空间坐标与像空间辅助坐标之间的转换。由高等数学知道，空间直角坐标的变换是正交变换，一个坐标系按某种顺序依次旋转三个角度即可变换为另一个同原点的坐标系。1

设像点 a 在像空间坐标系中的坐标（x，y，-f），而在像空间辅助坐标系中的坐标为（X，Y，Z），两者之间的正交变换关系可以用下式表示：

或

式中 R为3X3阶的正交矩阵，它由9个方向余弦所组成。1

由正交矩阵 RRT=I 的特点，可导出旋转矩阵中9个方向余弦之间有下列关系：

同一行（列）的各元素平方和为1；

任意两行（列）的对应元素乘积之和为0；

旋转矩阵的行列式 |R|=1；

每个元素的值等于其代数余子式；

每个元素的值为变换前后两坐标轴相应的夹角的余弦（如下表）。1

变换前后两坐标轴相应的夹角的余弦

|| ||

以影像外方位元素ψ，ω，κ 系统为例，对于上述两种坐标系之间的转换关系可以这样理解，即像空间坐标系是像空间辅助坐标系（相当于摄影光束的起始位置）依次绕相应的坐标轴旋转ψ，ω，κ三个角度以后的位置。此时旋转矩阵 R 可表示为：1

由上式可以看出，如果已知一幅影像的3个姿态角元素ψ，ω，κ ，就可以求出9个方向余弦，也就知道像空间坐标系转换到像空间辅助坐标系的正交矩阵R，从而可以实现两坐标的相互转换。1

反演公式共线方程的另一种形式（反演公式）：1

则有

应用共线方程的主要应用有：

单像空间后方交会和多像空间前方交会；

解析空中三角测量光束法平差中的基本数学模型；

构成数字投影的基础；

计算模拟影像数据（已知影像内外方位元素和物点坐标求像点坐标）；

利用数字高程模型（DEM）与共线方程制作正射影像；

利用 DEM 与共线方程进行单幅影像测图。1