[科普中国]-大地测量边值问题

问题的提出

现代重力测量技术的迅速发展，为地球重力场的确定提供了多种类型的边值条件。从而出现了新型大地测量边值问题。特别是卫星重力梯度计划的实现，能够在地球外域多个界面上获得关于扰动位r的边界条件。理论上，这些边界条件应该是严格相容的，但边界条件是通过某种测量手段和基于某种数学模型计算得到的，其中必然包含某些误差．如测量误差、模型误差、计算误差等，以至于它们实际上不可能相容。从而产生所谓超定边值问题。1

基础理论在大地测量边值问题可简单表述为：在大地水准面或地球自然表面上给定边值条件及相应的边值(如重力向量和重力位的测定值)，确定该边界面及其外部引力位，使其满足边值条件并在无限空间内是调和函数。位的概念最早是由法国数学家Legendre在1785年首先提出的，这一概念将引力或重力的三个分力合并为一个单独的位函数来处理，将地球形状和重力场的研究结合起来，为研究地球形状和重力场开辟了方便的途径。位理论后来又经过Green和Gauss等数学家和大地测量学家的研究获得了很大的发展，进一步揭示了表征位场的基本数学关系，达到了十分完备的地步。

但是，真正把地球形状和位理论结合起来研究直到19世纪才算开始。这一时期欧洲的大地测量(三角测量)已普遍展开，需要更精确的地球形状概念，以便为确定地面点位建立一个大地测量参考坐标系。Listing于1837年首次引进了地球形状新概念——大地水准面，后来将最接近大地水准面的旋转椭球面作为大地测量坐标系的参考面，把大地水准面作为计算正高的基准面。英国数学家Stokes为研究和确定大地水准面作出了奠基性贡献，他发展和完善了Newton和Clairaut关于地球形状的理论，于1849年建立了著名的Stokes定理：如果一个包含着全部物质的水准面的形状是已知的，又已知物质的总质量以及它围绕着某一固定轴而旋转的角速度，则可以唯一地确定该水准面上及其外部空间任意一点的重力值。这个定理将地球形状和它表面的重力值联系起来。Stokes同时解决了这个定理的逆定理：如果已知一个封闭水准面上的重力值，且其外部无质量，就可以确定这个面的形状。以大地水准面为边界面的Stokes问题是第一次提出的大地测量边值问题，并由此导出了著名的Stokes公式。Stokes理论大大超前于当时的重力测量水平，差不多过了100年，直到1934年芬兰的Hirvonen第一次应用Stokes公式对大地水准面进行了研究。大地水准面在Stokes问题中起关键作用，但也正是因为将大地水准面作为边界面，才给Stokes问题本身带来了不可避免的理论缺陷，现时还没有一种排除大地水准面外部质量的归算方法对地球本身重力场不产生影响，而且这种归算都要求有密度分布假设。尽管如此，这种缺陷带来的误差在经典大地测量精度要求范围内一般是容许的，在重力场逼近中，Stokes方法仍将保留它的理论研究价值和很强的应用价值，它的优点是数学形式简单，是一种最简单的大地测量边值问题。

1945年Molodensky对Stokes问题作了重大修改，决定性的一点是屏弃传统的大地水准面，代之以地球自然表面，提出直接使用不加归算的地面重力观测值(重力向量和重力位)同时确定地球表面及其外部位，由此产生了Molodensky边值问题，它从根本上克服了Stokes问题需要假设地壳密度的困难。Molodensky边值问题可定义为：假设(1)地球是一个刚体，以定常角速度绕相对于地球固定的自转轴旋转；(2)自转轴通过地球质心；(3)地球的引力场不随时间而变化，在地球表面S外部是调和的；(4)在S面上每一点的重力向量和重力位是已知的。2

研究进展在重力场逼近理论研究中，边值问题一直是引人注目的研究课题。自从1949年Stokes按球近似解算了物理大地测量的边值问题以来，人们总企图得到在数学上严密的、在物理上完善的、符合于现实情况的解。特别是近30年来，随着重力场观测资料的迅速增长和电子计算机的普遍应用，这一领域的研究取得了一系列重大进展，在经典方法不断得到改进的同时又出现了许多新的理论和方法。

首先，自70年代以来，经过数学家和大地测量学家的努力和卓越的工作，Molodensky问题的理论研究已经取得了若干重要进展，这些研究主要涉及以下方面：(1)线性化问题；(2)解的适定性问题；(3)经典Molodensky问题新解法(4)非经典Molodensky问题。下面简要介绍和评述在这些方向上取得有代表性和重要影响的成果。

丹麦学者Krarup(1973)首次给出了线性化Molodensky问题边值条件的精确数学形式。在此之前，线性化取简单球近似，和Stokes问题边值条件形式相同，其中导数取球向径方向或参考椭球法线方向。Krarup证明了严格的导数方向是正常场等天顶线方向，理论上归结为线性化斜向导数问题，这是他的主要贡献。由于方程中不仅包含了重力异常项，还包含了异常位，使之更具一般化。其意义在于可据此选择最合适(产生最小线性化偏差)的投影定义近似地形面。斜向导数问题的提出，为全球重力场逼近的椭球改正提供了理论依据。

德国学者Heck(1988)详细研究了Molodensky问题的二次逼近，分析估算了Taylor展开的二次项，证明了这一项可达到线性项同一量级，同时证明了线性化偏差与采用的近似地形面投影类型强相关。他具体揭示了粗糙化影响造成数值迭代过程的不稳定性。他比较了Marussi、Molodensky和Hirvonen三类定义近似地形面的投影，结论是后两种投影比前者产生的线性化偏差小得多。为降低粗糙化影响，他建议必须采用高阶位模型和进行地形均衡改正平滑数据。Heck的工作进一步完善了线性化的理论和应用。

Molodensky问题在数学上有两个主要难点：第一个难点在于它本身是一个高度非线性的自由边界问题，其解归结为在调和函数空间求解一个非线性超反函数问题以确定未知边界面和外部引力位函数。所谓超反函数是属于Banach空间的原函数的Frechet导数可能不存在有界逆，但反函数可以存在。这是一个十分困难的反函数问题。第二个难点是处理所谓“粗糙化”影响存在的困难，这一情况首先反映在Molodensky级数的高次项随着项数大于2开始变得愈来愈粗糙，可以出现绝对值很大的正负项，这是连续使用起微分作用的算子扩展高次项产生的粗糙化；在非线性问题的迭代解中，每一步的线性化的Frechet导数在Banach空间中可能不存在有界逆，也是微分的粗糙化影响，导数几乎总不如原函数光滑，使得迭代过程就在放大；边值函数(数据)同样存在粗糙化问题，即函数的非正则性。第一个难点是问题定义本身决定的；第二个难点本质上来源于近似地形面(或地球自然表面)以及场源物质分布的粗糙化，是研究的客观对象本身所固有的。这些难点在理论上给问题的适定性证明带来了困难，在方法上也使解算过程复杂化。

Hormander(1976)第一次给出了Molodensky问题解的存在性与唯一性在数学上的精确结果，他同时研究了线性化和非线性化情况。证明线性化问题解的适定性的主要困难在于它是一个斜向导数问题，因为法向导数问题可以通过第二类Fredholm积分方程来定义，此时Fredholm互斥性(或称二择一性)成立，即齐次方程和对应非齐次方程解的存在和唯一性是互斥的。若齐次问题有个独立解，则为了使对应非齐次问题有解，边界值必须满足n个独立条件，且解包含n个自由参数。斜向导数问题则不同．它导致奇异积分方程，此时Molodensky积分方程不再是第二类Fredholm积分方程，Fredholm互斥性一般不再有效。但是，若斜向导数问题是正则的，即导数方向(等天顶线方向)在任何地方都不与边界面相切，则Fredholm互斥性仍然有效。为此H0rmander修改了Molodensky问题的定义，增加了地球表面正则性假定，即在拓扑意义上地球表面是一个可微的与单位球—‘一对应的像，另在边值条件方程自由项中增加了一个附加项。Hormander的贡献在于他从数学上证明了即使对一般线性化Molodensky问题，边界数据需要且只需要满足三个独立条件，使一阶球函数消失，有唯一解。在证明非线性Motodensky问题的适定性中，Hormander成功地克服了前述两个主要难点。过去已有的非线性算子的隐函数定理用于大地测量情况时不能满足定理的条件，Hormander的贡献在于用数学的方法找到了适用于大地测量边值问题的隐函数定理。他根据Nash在1956年提出的离散型的连续方法证明了一个极其困难的反函数定理，其中应用的迭代过程称Nash—Hormander迭代法，取代了在该问题中不能使用的Newton迭代法，新方法的特点是每一步逼近“直线”都比较靠近“函数曲线”，这样他就克服了第一个难点；同时他又在迭代的每一步引入一个正则化算子控制Frechet导数的粗糙化影响。保证迭代的收敛，从而克服了第二个难点。证明过程作了必要的光滑化处理，采用了带有指数的Holder条件以及相应的Holder范数。虽然这些过严的光滑性条件显然不符合大地测量的实际，但Hormander定理对Molodensky问题的理论研究有重大意义。3