[科普中国]-射影定律

直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式表达为：如左图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下1：①CD²=AD·DB，②BC²=BD·BA ， ③AC²=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD（等积式，可用面积来证明）

定理介绍简介

所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高的平方是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

设直角三角形ABC，AB是斜边，CD是高，则AC的平方=AD×AB

CB的平方=BD×BACD的平方=AD×DB等积式；

AD×AC=AB×AC

推出；AC/AB=AD/AC（比例式）

如图，∠ABC=90°，CD⊥AB，则AC^2=AD×AB，BC^2=BD×AB，CD^2=AD×BD。以上比例式合称射影定理。主要用于解决直角三角形斜边及定点与斜边的连线的问题，比如说给出AD和BD的长度求AC:BC。

直角三角形射影定理公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：

（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。

等积式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”来证明）

直角三角形射影定理的证明

射影定理简图(几何画板)：

（主要是从三角形的相似比推算来的）

证法一在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD**·**DC。其余同理可得可证

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

两式相加得：AB^2+BC^2=AD**·AC+CD·**AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理结论）。

证法二已知:三角形中角A=90度，AD是高.

用勾股证射影

∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，

∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.

故AD^2=BD×CD.

运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC， AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明2。

任意三角形射影定理内容任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”3：

△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有

a=b**·cosC+c·**cosB，

b=c**·cosA+a·**cosC，

c=a**·cosB+b·**cosA。

注：以“a=b**·cosC+c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·**cosB，故名射影定理。

证明证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且

BD=c**·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.** 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a**·cosB+b·cosA.** 同理可证其它的。

面积射影定理定理内容面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。”

COSθ=S射影/S原

(平面多边形及其射影的面积分别是S原，S射影，它们所在平面所成锐二面角的为θ)

证明思路因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算即可4。

定理提出者简介欧几里得（希腊文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）时期的亚历山大里亚。 他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。

本词条内容贡献者为:

郎奠波 - 副教授 - 黑龙江财经学院