[科普中国]-正弦值

正弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值1。

定义弦值是在直角三角形中,对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，通常用符号sin表示。正弦sinθ也可以理解为顶角度数为θ的单位等腰三角形与单位等腰直角三角形的面积之比2。

sin30°=1╱2

sin45°=√2╱2

sin60°=√3╱2

sin90°=1

sin180°=0

sin0°=0

sin270°=-1

三角函数表特殊三角函数值

|| ||

注：在上面的表格中，例如：√3/2 指的是（√3）/2

其他公式三角函数 必备公式：3

Sin2A=2sinA·cosA

cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1

tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A）

同角三角函数的基本关系式

倒数关系； 商的关系；平方关系：

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1

1+tan2α=sec2α

1+cot2α=csc2α

诱导公式

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

(其中k∈Z)

万能公式

两角和与差的三角函数公式万能公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

sinα=(2tan(α/2))/(1+tan2(α/2))

cosα=(1－tan2(α/2))/(1+tan2(α/2))

tanα=(2tan(α/2))/(1－tan2(α/2))

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α－sin2α=2cos2α－1=1－2sin2α

tan2α=(2tanα)/(1－tan2α)

sin3α=3sinα－4sin3α

cos3α=4cos3α－3cosα

tan3α=(3tanα－tan3α)/(1－3tan2α)

三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式

α+β α－β

·积化和差公式:
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式:
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

常用函数数值α=0°(0)

sinα=0

cosα=1

tαnα=0

cotα→∞

secα=1

cscα→∞α=15°(π/12)

sinα=(√6-√2)/4

cosα=(√6+√2)/4

tαnα=2-√3

cotα=2+√3

secα=√6-√2

cscα=√6+√2

α=22.5°(π/8）

sinα=√(2-√2)/2

cosα=√(2+√2)/2

tαnα=√2-1

cotα=√2+1

secα=√(4-2√2)

cscα=√(4+2√2)α=30°(π/6)

sinα=1/2

cosα=√3/2

tαnα=√3/3

cotα=√3

secα=2√3/3

cscα=2α=45°(π/4)

sinα=√2/2

cosα=√2/2

tαnα=1

cotα=1

secα=√2

cscα=√2α=60°(π/3)

sinα=√3/2

cosα=1/2

tαnα=√3

cotα=√3/3

secα=2

cscα=2√3/3α=67.5°(3π/8)

sinα=√(2+√2)/2

cosα=√(2-√2)/2

tαnα=√2+1

cotα=√2-1

secα=√(4+2√2)

cscα=√(4-2√2)α=75°(5π/12)

sinα=(√6+√2)/4

cosα=(√6-√2)/4

tαnα=2+√3

cotα=2-√3

secα=√6+√2

cscα=√6-√2α=90°(π/2)

sinα=1

cosα=0

tαnα→∞

cotα=0

secα→∞

cscα=1α=180°(π)

sinα=0

cosα=-1

tαnα=0

cotα→∞

secα=-1

cscα→∞α=270°(3π/2)

sinα=-1

cosα=0

tαnα→∞

cotα=0

secα→∞

cscα=-1α=360°(2π)

sinα=0

cosα=1

tαnα=0

cotα→∞

secα=1

cscα→∞

本词条内容贡献者为:

杨磊 - 副教授 - 北京大学数学学院