[科普中国]-三角形的外角

三角形的外角三角形的一边与另边的反向延长线组成的角。三角形三个外角之和为360°1。三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，且三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

定义三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所夹的角。亦即“三角形内角的邻补角”。三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。2

性质1. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角。

证明：如图

∵∠1+∠2=180º,∠A+∠B+∠2=180º

∴∠1=∠A+∠B

∴∠1>∠A,∠1>∠B

所以三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

2. 三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，

求证：∠1=∠A+∠B，

证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°，∵∠1+∠2=180°，

∴∠1=∠A+∠B．

拓展：在三角形中，已知其中两个角的度数，根据三角形内角和定理，则能求出第三个角的度数。

三角形外角平分线定理定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。

已知如图，△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点 D，求证：BD︰CD=AB︰AC。

证明：过C作AD的平行线交AB于点E。

∴BD︰CD=AB︰AE，∠1=∠AEC∠CAD=∠ACE

∵∠1=∠CAD ∴∠AEC=∠ACE

∴AE=AC ∴BD︰CD=AB︰AC

三角形的外角和性质：三角形的外角和等于360°。

已知∠BAF,∠CBD,∠ECA是△ABC的三个外角,求证BAF+∠CBD+∠ACE=360°3

证法1：如图22.

∠BAF+∠1=180°，

∠CBD+∠2=180°，

∠ACE+∠3=180°，

∴∠BAF+∠1+∠CBD+∠2+∠ACE+∠3=3×180°

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=3×180°-(∠1+∠2+∠3)

∴∠1+∠2+∠3=180°,

∠BAF+∠CBD+∠ACE=3×180°-180°=360°

证法2：如图23

作CB的延长线BH,过点B作BG∥CA

∴∠BAF=∠DBG，∠ACE=∠GBC

∴∠BAF+CBD+∠ACE

=∠DBG+∠CBD+∠GBC

=∠DBH+∠HBG+∠CBD+∠GBC

=(∠DBH+∠CBD)+(∠HBG+∠GBC)

=180°+180°=360°

多边形外角（1）多边形外角的定义：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。

（2）多边形外角和定理：多边形的外角和都等于360°。4

本词条内容贡献者为:

韩彦昌 - 教授 - 华南师范大学数学科学学院