[科普中国]-卷积定理

若 ， ， 表示傅立叶变换。则

表示卷积。时域卷积定理表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶变换的乘积。

频域卷积定理表明两信号在时域的乘积对应于这两个信号傅立叶变换的卷积除以 。

卷积定理揭示了时间域与频率域的对应关系。

这一定理对Laplace变换、Z变换、Mellin变换等各种傅立叶变换的变体同样成立。需要注意的是，以上写法只对特定形式的变换正确，因为变换可能由其它方式正规化，从而使得上面的关系式中出现其它的常数因子。

证明卷积定理前，先对证明中用到的性质进行简单介绍。

傅立叶变换的时移性质。该性质表述为：设 、 为实常数，若 ，则 。

傅立叶变换的时移性质表明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成份的大小不发生改变，但相位发生变化。该性质可以由傅立叶变换的定义进行证明：

令 ，则有

另外，由富比尼定理可知，积分区域连续的前提下，二重积分的积分次序可以交换。

下面对时域卷积定理和频域卷积定理进行推导证明。

首先，卷积定义为

然后，代入傅立叶变换公式

由此可得

至此，时域卷积定理得证1。

设 ， ， 表示傅立叶逆变换，则

因此有

故频域卷积定理得证。

卷积定理的应用在很多涉及积分变换、积分方程的文章中都有所体现。常见的一些重要的积分变换，例如：Mellin变换、Laplace变换、Fourier变换等都具有所谓的卷积性质（Convolution Property）。这里要注意的是，针对不同的积分变换，卷积性质的形式不是完全相同的，只要一些基本的结构得到保留就可以了。

1、时域卷积定理与傅立叶变换性质的关系

(1) 时移性质

在时域中，设 ， ，由于 ，即时移。

在频域中，设 ，由于 ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是傅立叶变换的时移性质。

(2) 时域微分性质

在时域中，设 ， ，由于 ，即时域微分。

在频域中，设 ，由于 ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是傅立叶变换的时域微分性质。

(3) 时域积分性质

在时域中，设 ， ，由于 ，即时域积分。

在频域中，设 ，由于 ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是傅立叶变换的时域积分性质。

(4) 系统函数

在时域中，设 ， ，由于 ，即系统冲激响应。

在频域中，由于 ， ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是系统函数2。

(5) 系统的零响应状态

在时域中，设 ， ，由于 ，即系统的零响应状态。

在频域中，设 ， ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是零状态响应的频域分析法3。

(6) 系统的无失真传输条件

在时域中，设 ， ，由于 ，即系统无失真传输。

在频域中，设 ，由于 ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是系统的无失真传输条件。

(7) 正弦稳态响应

在时域中，设 ， ，由于 ，即系统正弦稳态响应。

在频域中，设 ， ，根据时域卷积定理有：

该公式表示的就是系统正弦稳态响应的频域分析法。

2、频域卷积定理与傅立叶变换性质的关系

(1) 频移性质

在时域中，设 ， ，则 。

在频域中，设 ，由于 ，根据频域卷积定理有：

该公式表示的就是傅立叶变换的频移性质。

(2) 频域微分性质

在时域中，设 ， ，则 。

在频域中，设 ，由于 ，根据频域卷积定理有：

该公式表示的就是傅立叶变换的频域微分性质。

(3) 调制

在时域中，设 ， ，则 ，即振幅调制。

在频域中，设 ，由于 ，根据频域卷积定理有：

该公式表示的就是振幅调制定理4。

卷积定理还可以简化卷积的运算量。对于长度为 的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做 组对位乘法，其计算复杂度为 ；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为 。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。