[科普中国]-线性系统

概述

线性系统是指同时满足叠加性与均匀性（又称为其次性）的系统。所谓叠加性是指当几个输入信号共同作用于系统时，总的输出等于每个输入单独作用时产生的输出之和；均匀性是指当输入信号增大若干倍时，输出也相应增大同样的倍数。对于线性连续控制系统，可以用线性的微分方程来表示。不满足叠加性和均匀性的系统即为非线性系统1。

由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。

基础知识线性线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。

如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性。激光也是非线性的！天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。

双线性式中分别是状态向量和控制向量，上标T表示转置；A，Pi和B均为常系数矩阵;dx/dt表示x对时间t的微商。这类状态方程的特点是，它相对于状态或控制在形式上分别是线性的，双线性的名称即源于此。但同时相对于状态和控制来说，系统则不是线性的。它实际上是一类具有比较简单形式的特殊非线性系统。双线性系统模型是对线性系统模型的推广，它能更准确地描述一类实际过程。生物繁殖过程就是一个典型的例子，用状态变量x表示种群中生物体的数量，控制变量u表示可人为控制的净增殖率,则控制种群中生物体数量的繁殖过程可用形式为dx/dt=ux的一个双线性系统来描述。双线性系统模型已被广泛用于工程、生物、人体、经济和社会问题的研究。例如，化学反应中的催化作用问题；人体内的水平衡过程、体温调节过程、呼吸中氧和二氧化碳交换过程、心血管调节过程等问题；细胞内的某些生物化学反应问题；社会和经济领域中的人口问题，动力资源问题，钢铁、煤炭、石油产品生产问题等。

双线性系统的研究始于60年代，70年代以来得到了广泛的重视和迅速的发展，成为非线性系统研究中比较成熟的分支之一。双线性系统理论中已有的主要结果为：

① 双线性系统具有变结构系统的一些特征，因而有一定的自适应性（见适应控制系统）。

② 对于控制变量受限制（即控制变量的大小必须在一定的界限内）的情况，已经找到用频率域语言表达的稳定性条件。

③ 双线性系统具有比线性系统更好的能控性。即使控制变量受限制，系统仍可能是完全能控的。已经获得系统完全能控的一些充分条件。

④ 用李雅普诺夫稳定性理论能够求得双线性系统的镇定控制解,即可找到一个反馈控制律u=u(x)使系统实现全局稳定。这种控制函数是开关型或饱和型的，开关曲面（或曲线）对状态变

而言是二次曲面（或曲线）。

⑤ 采用动态规划或极大值原理已能解决双线性系统的一些最优控制问题,如最速控制，最省燃料控制,以及离散双线性系统和随机双线性系统的最优控制等。

双线性系统理论已有不少实际应用的例子。例如核电站、核动力装置中核裂变和热交换过程的最优控制，人口预测和控制等。

叠加原理状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指：如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示状态，y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。

一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。

严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于得出一些可用来指导设计的结论。从这个意义上来说，线性系统是一类得到广泛应用的系统。

分类对于线性系统，通常还可进一步分为线性时不变系统和线性时变系统。

线性时不变系统线性时不变系统也称为线性定常系统或线性常系数系数，其特点是，描述系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，每个系数都不随时间变化的常数。从实际的观点而言，线性时不变系统也是实际系统的一种理想化模型，实质上是对实际系统经过近似化和工程化处理后所导出的一类理想化系统。但是，由于线性时不变系统在研究上的简便性和基础性，并且为数很多的实际系统都可以在一定范围内足够精确地用线性时不变系统来代表，因此自然地成为线性系统理论中的主要研究对象。2

线性时变系统线性时变系统也称为线性变系数系统。其特点是，表征系统动态过程的线性微分方程或差分方程中，至少包含一个参数为随时间变化的函数。在现实世界中，由于系统外部和内部的原因，参数的变化是不可避免的，因此严格地说几乎所有系统都属于时变系统的范畴。但是，从研究的角度，只要参数随时间的变化远慢于系统状态随时间的变化，那么就可将系统按时不变系统来研究，由此而导致的误差完全可达到忽略不计的程度。2

线性时不变系统和线性时变系统在系统描述上的这种区别，既决定了两者在运动状态特性上的实质性差别，也决定了两者在分析和综合方法的复杂程度上的重要差别。事实上，比之线性时不变系统，对线性时变系统的研究要远为复杂得多，也远为不成熟得多。2

线性系统在坐标变换下的特性对于线性时不变系统1.设线性时不变系统状态空间描述为：

引入坐标变换：

则变换后系统的状态空间可描述为：

2.线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变2。

对于线性时变系统考察连续时间线性时变系统，状态空间描述为：

此时，系统在坐标变换即线性非奇异变换下的特性不同于时不变系统，时变系统的坐标变换中，变换矩阵一般取为时变矩阵并满足可微性要求。2

若引入坐标变换即非奇异变换x=P(t)，P(t)为可逆且连续可微，则变换后的状态空间描述为：

其中，变换前和变换后的状态空间中的系数矩阵有如下的关系：

线性系统理论的地位线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也最成熟的一个分支，是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。其大量的概念、方法、原理和结论对于系统和控制理论的许多学科分支，如最优控制、非线性控制、随机控制、系统辨识、信号检测与估计等都具有十分重要的作用3。线性系统理论在1960年前后开始了从古典阶段到现代阶段的过渡，其重要标志之一是卡尔曼(R.E.Kalman)系统的把状态空间法引入到系统与控制理论中来。状态空间法的基本特点是采用状态空间这种内部描述取代传递函数那种外部输入输出描述，并对系统的分析和综合直接在时间域内进行4。状态空间法可以同时适用于单输入单输出系统和多输入多输出系统，线性定常系统和时变系统。在此种方法中，用以表征系统动力学特性的数学模型是反映输入变量，状态变量和输出变量间关系的一对向量方程，称为状态方程和输出方程。线性系统的状态空间理论自提出以来，已经得到了非常广泛的研究，而在状态空间描述的基础上进行控制系统设计是状态空间理论的一个重要组成部分。控制系统设计一般可分为两类，一类是非优化型设计，其目的是针对某定常控制系统，设计某种形式的线性定常反馈控制律，使得闭环系统具有指定的期望的一组极点，这种设计以状态反馈极点配置为代表。另一类设计是所谓的优化设计，即设计某种反馈控制律（线性或非线性），使得闭环系统的某种性能指标达到最优，这种设计方法以二次最优控制为代表。