[科普中国]-目标函数

目标函数的定义

一个工程设计问题 ，常有许多可行的设计方案 ，最优化设计的任务是要找出其中最优的一个方案。评价最优方案的标准应是在设计中能最好地反映该项设计所要追求的某些特定目标。通常 ，这些目标可以表示成设计变量的数学函数 ，这种函数称为目标函数。1

目标函数的两个重要概念等值线(等值面)不同的设计点X代表不同的设计方案，不同的设计方案可以达到同样的目标值。在数学上，具有相同目标函数值的点并非一个，而是很多，例如：二维设计中，目标函数是三维空间中的曲面，具有相同目标函数值的点在二维空间上描绘出一簇簇曲线，如右图所示，这种n维设计空间中具有相同目标函数值的设计点在n维空间中构成的曲线(面)称为目标函数的等值线(面)。显而易见，等值线(面)是一簇簇超曲线(面)，在同一条超曲线(面)上有很多设计点，代表了不同的设计方案，但它们却对应有相同的目标值.不同的等值线有不同的目标值。2

梯度梯度是目标函数f(X)对各个设计变量的偏导数所组成的向量，并以符号“▽f(X)"表示，即

从几何意义上讲，梯度向量在目标函数面的(n+1)维空间中垂直于目标函数面，在设计变量的n维空间中垂直于目标函数的等值面。以二维为例，如下图所示，当f(X) =ax1+bx2表示目标函数面是三维空间中的一个平面时，其等值线是一簇簇平行线C1，C2……，梯度▽f(X(k))既垂直于目标函数面，又垂直于等值线。

在最优化设计中有时可以建立多个目标函数，这种问题称为多目标函数间题。一般说来 ，目标函数越多，对设计的评价就越周全 ，但计算也越复杂。