[科普中国]-相似性度量

定义

相似性度量，即综合评定两个事物之间相近程度的一种度量。两个事物越接近，它们的相似性度量也就越大，而两个事物越疏远，它们的相似性度量也就越小。相似性度量的给法种类繁多，一般根据实际问题进行选用。常用的相似性度是有：相关系数(衡量变量之间接近程度)，相似系数(衡量样品之间接近程度)，若样品给出的是定性数据，这时衡量样品之间接近程度，可用样本的匹配系数、一致度等。1

用数量化方法对事物进行分类，就必须用数量化方法描述事物间的相似程度。一个事物常常需要用多个变量来刻画，如对一群用p个变量描述的样本点进行分类，则每个样本点可看做是p维空间的一个点，很自然的想到用距离来度量样本点间的相似程度。2

基础知识距离设Ω是所有样本点的集合，距离是Ω×Ω→的一个函数，满足条件：

（1）正定性：，x,yΩ；d(x,x)=0，当且仅当x=0；

（2）对称性：d(x,y)=d(y,x),x,yΩ；

（3）三角不等式：,x,y,zΩ。2

相关系数设变量，j=1,2,,p，则可以用两变量和的样本相关系数作为它们的相似性度量。变量之间的相关系数组成的矩阵称为相关系数矩阵，且相关系数矩阵是一个实对称矩阵，通常用上三角矩阵或下三角矩阵来表示。2

角度相似性度量目前为止都是在用距离来度量样本之间的相似程度，实际上在某些情况下可以采用角度相似性度量。

如果认为两个样本之间的相似程度只与它们之间的夹角有关，而与矢量的长度无关，那么就可以使用矢量夹角的余弦来度量相似性。有：s(x,y)==。

（1）当x与y重合时，夹角为0，相似度最大：s(x,y)=1；

（2）当x与y方向相反时，夹角为π，相似度最小：s(x,y)=-1；3

聚类分析中的相似性度量聚类通常按照对象间的相似性进行分组，因此如何描述对象间相似性是聚类的重要问题。数据的类型不同，相似性的含义也不同。例如，对数值型数据而言，两个对象的相似度是指它们在欧氏空间中的互相邻近的程度；而对分类型数据来说，两个对象的相似度是与它们取值相同的属性的个数有关。

聚类分析按照样本点之间的亲疏远近程度进行分类。为了使类分得合理，必须描述样本之间的亲疏远近程度。刻画聚类样本点之间的亲疏远近程度主要有以下两类函数：

（1）相似系数函数：两个样本点愈相似，则相似系数值愈接近1；样本点愈不相似，则相似系数值愈 接近0。这样就可以使用相似系数值来刻画样本点性质的相似性。

（2）距离函数：可以把每个样本点看作高维空间中的一个点，进而使用某种距离来表示样本点之间的相似性，距离较近的样本点性质较相似，距离较远的样本点则差异较大。

需要由领域专家确定采用哪些指标特征变量来精确刻画样本的性质，以及如何定义样本之间的相似性测度。