[科普中国]-小波包分解

传统的振动信号分析和处理方法一般都是采用傅立叶分析，它是一个窗口函数固定不变的分析方法，无法反映信号的非平稳、持时短、时域和频域局部化等特性1。

小波分析是一种窗口面积固定但其形状可改变，即时间和频率窗都可改变的时频局部化分析方法，由于它在分解的过程中只对低频信号再分解，对高频信号不再实施分解，使得它的频率分辨率随频率升高而降低1。

在这种情况下，小波包分解应运而生。

小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法。小波包分析将时频平面划分得更为细致，它对信号的高频部分的分辨率比二进小波要高。而且，它在小波分析理论的基础之上，引入了最优基选择的概念。即，将频带经过多层次的划分之后，根据被分析信号的特征，自适应地选取最佳基函数，使之与信号相匹配，以提高信号的分析能力2。因此，小波包具有广泛的应用价值。

从函数理论的角度来看，小波包变换是将信号投影到小波包基函数张成的空间中。从信号处理的角度来看，它是让信号通过一系列中心频率不同但带宽相同的滤波器。

设 和 分别是尺度函数和小波函数，令：

则，定义的函数 称为关于尺度函数 的小波包3

设 和 分别是尺度函数和小波函数，令：

则，定义的函数 称为关于尺度函数 的缩短小波包3

函数族 称为由尺度函数 生成的小波库。

如下图，为空间的小波包分解：4

参数j,k,n 的意义4

小波库中的一个函数：

参数 ：尺度坐标

参数 ：位置坐标

参数 ：震荡次数

是中心在 ，支集大小数量级为 ，震荡次数为 的小波函数

参数 固定

小波库中的函数 构成 的正交基，此时变换类似于一个加窗的 变换

参数 固定

小波库中的函数构成的正交基，此时，变换是一个小波变换。

在对函数或信号进行小波包分解时，由于 有不同的分解方式，即 有不同的正交基，因此，我们面临“最优基”的选择问题。

什么是最优基？

如何选择最优基？4

定义一个序列的代价函数，从小波库的所有小波包基中寻找使代价函数最小的基 ，对一个给定向量来说，代价最小就是最有效的表示，此基便为“最优基”。4

基本要求：

单调性

可加性（次可加性）

①数列中大于给定门限的系数的个数。即预先给定一门限值 ，并计数数列中绝对值大于 的元素的个数

②范数：

通常选择：

其中， 范数越小，能量越集中

③熵：

④能量对数