[科普中国]-二维正态分布

二维正态分布，又名二维高斯分布（英语：Two-dimensional Gaussian distribution，采用德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的名字冠名），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，由于这个分布函数具有很多非常漂亮的性质，使得其在诸多涉及统计科学离散科学等领域的许多方面都有着重大的影响力。比如图像处理中最常用的滤波器类型为Gaussian滤波器（也就是所谓的正态分布函数）。1

数学表达满足下述的概率密度分布的随机变量分布叫做二维正态分布

其中 都是常数，我们称 服从参数为 的二维正态分布，常把这个分布记作 ）。 的范围分别为 。这个函数在三维空间中的图像是一个椭圆切面的钟倒扣在 平面上，其中心在（ ）点。1

证明证明该函数是一个概率密度函数，其应该满足概率密度函数的基本性质：一是大于零，二是全空间上的积分等于1。第一点显而易见，下面给出条件二的证明。

令

得

再做变量代换

注意到

得

特点边缘概率密度二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布的形式：并且都不依赖于参数 ，即不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布是一样的。这一事实表明，单由关于X和关于Y的边缘分布，不能确定随机变量X和Y的联合分布，但加入了结合紧密程度的参数，就可以确定。

证明是一维正态分布

由于

于是

令

则有

同理

独立性对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互独立的充要条件是参数ρ=0。也即二维正态随机变量独立和不相关可以互推。以下给出证明过程。

必要性：如果ρ=0

有

充分性：如果X和Y相互独立，由于都是连续函数，有。

特别令。得到

为使这一等式成立，从而ρ=0。1

本词条内容贡献者为:

郎奠波 - 副教授 - 黑龙江财经学院