[科普中国]-杠杆规则

杠杆规则-含义

设系统中某组分的分子分数为x，如将系统分为分子分数各为x1、x2的两部分，则它们的摩尔数n1与n2间，必定遵守下列关系：n1/n2=(x2-x)/(x-x1)，此关系犹如以x为支点，以x2-x与x-x1为臂长的杠杆的计算公式，故名。如用重量分数，则得重量比1。

杠杆规则-性质在相图中计算处于平衡的两相的相对数量的规则。设xa和xb代表呈平衡的两相中某一个组分的组成(例如摩尔分数)，xt为该组分在系统中的总组成。按照杠杆规则，a及b两相的量na及nb( 摩尔）之比为

na ： nb= （xb- xt）：(xt- xa)

百分比浓度的计算例1：要把95 %和5 %的酒精都利用起来，现配制75 %的酒精900 ml，需要取95 %和5 %的酒精多少毫升？(设配制前后溶液的密度不变)

通常解法是：需要取95 %的酒精x ml，则根据配制前后纯酒精的质量不变，得方程式：

95 %×x + 5 %×(900－x)=75 %×900

解得：x=700 mL 900- x=900－700=200 mL

答：需要取95 %的酒精700 ml，5 %的酒精200 ml。

这个例题用杠杆规则就简单多了。其方法是：取一带单位的线段，线下标出浓度分数，线上标出该浓度时对应的体积数，则得A、B、C 三点成为一杠杆。如图1。

以A 点为支点：x×(95－5)=900×(75－5)

以B 点为支点：(900-x)×(75-5)=x×(95-75)

以C 点为支点：(900-x)×(95-5)=900×(95-5)

以上三式看来是以A 点作支点时方程最简单。一步可直接求出x 值。选支点时一般是做到：“已知点所求点不作支点，第三点作支点。”

例2：现有40 %的甘油水溶液45 g，如果加入98 %的甘油水溶液25 g 混合均匀后溶液的浓度变为多少？解：设混合后的甘油水溶液的浓度为x %，根据题意可作杠杆，如图2：

以C 点为支点得：(98－x)×70=45×(98－40)

解得：x=60.7 %

答：混合后的甘油溶液浓度为60.7 %2。

溶解度的应用物质的溶解度是指一定温度下某种物质在100 g 水(溶剂)中制成饱和溶液时所溶解某种物质的克数。某物质在不同温度时，溶解度不同，溶液的浓度也将发生变化。利用杠杆规则来解这类题目，可以将物质的溶解度转换为百分比浓度。

例3：在温度为100 ℃时，有500 g 饱和硝酸钾溶液，如果把温度降到0 ℃时能有多少克硝酸钾可以从溶液中分离出来？(已知100 ℃和0 ℃的硝酸钾溶解度分别为247 g 和13.5 g)

通常解法：设100 ℃时500 g 饱和硝酸钾溶液中，溶有溶质x g，溶剂水的质量为(500－x) g，列出比例式：

100 g︰(500―x) g=247 g︰x

计算得：x =355.9 g

溶济(水)的质量为：500 g－355.9 g=144.1 g。然后求0 ℃时144.1 g 水最多能溶解硝酸钾的克数。设0 ℃时144.1 g 水最多能溶解y g 硝酸钾。根据0 ℃时的硝酸钾的溶解度列出比例式：

100 g︰144.1 g=13.5 g︰y

y= =19.45 g

所以析出的硝酸钾：355.9 g－19.4 g=336.5 g

答：能有336.45 g 硝酸钾可以从溶液中分离出来。

用杠杆规来解：先把不同温度下的溶解度用质量分数来表示。

相平衡的应用在相平衡体系中运用杠杆规则来分析问题更加明了简捷了。我们来看下面一例双组分体相平衡题。

例4：试利用H2O-NaNO3 体系的相图，分析将NaNO3 溶液进行恒温蒸发的过程；并求在60 ℃时，将100 kg 30 %的NaNO3 溶液，恒温蒸发至体系组成为85 %时，析出和蒸发出来的水分质量。

本题分为两步来解，第一步是：60℃时先在NaNO3 质量不变的情况下将体系从30 %恒温蒸发到85 %。设蒸发掉的水蒸汽为xg。

以C 点为支点得关系式：Gg×(85－0)=100 kg×(85－30)

得蒸发出的水蒸汽G=64.71 g。

则得到85 %NaNO3 混合物为100 kg－64.71=35.29 kg

第二步是在固液平衡区。60 ℃ 85 %的体系为NaNO3 饱和溶液与NaNO3 晶体的两相平衡。而60℃时NaNO3 饱和溶液的质量浓度为56 %。设可析出晶体为S g。以A 为支点得关系式：

S×(100－56)=35.29 kg×(85－56)

解得：S=23.26 kg

答：将30 %的NaNO3 溶液从60 ℃恒温蒸发到85 %时可蒸发水蒸汽64.71 g，同时析出NaNO3 晶体23.26 g3。