[科普中国]-背包问题

1998年的石溪布鲁克大学算法库的研究表明，在75个算法问题中，背包问题是第18个最受欢迎，第4个最需要解决的问题（前三为后kd树，后缀树和bin包装问题）。3

背包问题出现在各种领域的现实世界的决策过程中，例如寻找最少浪费的方式来削减原材料，4选择投资和投资组合，5选择资产支持资产证券化6，和生成密钥为Merkle-Hellman7和其他背包密码系统。

背包算法的一个早期应用是在测试的构建和评分中，测试者可以选择他们回答哪些问题。对于小例子来说，这是一个相当简单的过程，为测试者提供这样的选择。例如，如果考试包含12个问题，每个问题的价值为10分，测试者只需回答10个问题即可获得100分的最高分。然而，在点值的异质分布的测试 - 即不同的问题值得不同的点值 - 更难以提供选择。 Feuerman和Weiss提出了一个系统，其中学生被给予一个异质测试，共有125个可能的点。学生被要求尽可能回答所有的问题。在总点数加起来为100的问题的可能子集中，背包算法将确定哪个子集给每个学生最高的可能得分。8

我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。

我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。

如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题9。

可以用公式表示为：

最大化

受限于

如果限定物品j最多只能选择bj个，则问题称为有界背包问题。

可以用公式表示为：

最大化

受限于

如果不限定每种物品的数量，则问题称为无界背包问题。

各类复杂的背包问题总可以变换为简单的0-1背包问题进行求解。9

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+v[i] }。

可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值v[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为f[v]。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V），其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V）。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]}，因为的

f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。10

(完全背包问题求解)

//in.txt：

5 100

77 92

22 22

29 87

50 46

99 90

//out.txt

133

//in.txt：

8 200

79 83

58 14

86 54

11 79

28 72

62 52

15 48

68 62

//out.txt

334

C动态规划算法的实现（完整代码）