[科普中国]-直方图规定化

概述

图像直方图是图像处理中一种十分重要的分析工具，它描述了一幅图像的灰度级内容。从数学上来说，图像直方图是图像各灰度值统计特性与图像灰度值的函数，它统计一幅图像中各个灰度级出现的次数或概率；从图形上来说，它是一个二维图，横坐标表示图像中各个像素点的灰度级，纵坐标为各个灰度级上图像像素点出现的次数或概率，它是图像最基本的统计特征。3

直方图有以下性质：

(1) 直方图是一幅图像中各像素灰度出现频次的统计结果，它只反映图像中不同灰度值出现的次数，而不反映某一灰度所在的位置。

(2) 任何一幅图像，都有惟一确定的与它对应的直方图，但不同的图像可能有相同的直方图。

(3) 由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的，因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方图。

我们知道，直方图均衡化处理有良好的图像增强效果。从实现算法上可以看出，其优点主要在于能自动增强整幅图像的对比度，但具体的增强效果也因此不易控制，只能得到全局均衡化处理的直方图。然而在实际应用中，往往要根据不同的要求得到特定形状的直方图分布，以有选择地对某灰度范围进行局部的对比度增强，即想要得到已知直方图的增强图像。此时，可以采用直方图的规定化处理，通过选择合适的规定化函数取得期望的效果。直方图规定化就是针对这种思想提出来的一种直方图修正增强方法。所以，从某种意义上，直方图规定化可看作是直方图均衡化方法的改进。3

基本原理直方图规定化的目的就是调整原始图像的直方图使之符合某一规定直方图的要求.设 Pr（r）和Pz（z）分别表示原始灰度图像和目标图像的灰度分布概率密度函数.根据直方图规 定化的特点与要求，应使原始图像的直方图具有Pz（z）所表示的形状。因此.建立Pr（r）和 Pz（z）之间的关系是直方图规定化必须解决的问题。2

根据直方图均衡化理论，首先对原始图像进行直方图均衡化处理.即求变换函数

现假定直方图规定化的目标图像已经实现，因此，对于目标图像也采用同样的方法进行均衡化处理，因而有

上式的逆变换为

上式表明，可通过均衡化后的灰度级v求出目标函数的灰度级z。由于对目标图像和原始图像都进行了均衡化处理，因此具有相同的分布密度，即

因而可以用原始图像均衡化以后的灰度级s代表v，即

所以可以依据原始图像均衡化后的图像的灰度值得到目标图像的灰度级z。2

直方图规定化方法根据上述理论推导，可以得出直方图规定化处理的一般步骤如下：

(1) 根据直方图均衡化原理，对原始图的直方图进行灰度均衡化处理；

(2) 规按照目标图像的概率密度函数Pz（z），求解目标图像进行均衡化处理的变换函数G（z）；

(3) 用原始图像均衡化中得到的灰度级s代替v，求解逆变换z=G-1（s）。2

经过上述处理得到的目标图像的灰度级将具有事先规定的概率密度Pz（z）。上述变换过程中所包含的两个变换函数T（r）和G-1（s）可形成复合函数，即可表示为

由此可知，无需进行直方图均衡化运算就可以直接实现直方图规定化处理，通过复合函数关系有效的简化了直方图规定化处理过程，求出T（r）和G-1（s）之间的复合函数关系就可以直接对原始图像进行变换。2

效果示例图3.3.2给出直方图规定化的一个示例，这里利用如图3.3.2(b)所示的规定化函数对原始图进行直方图规定化的变换，得到的 结果见图3.3.2(c)[其直方图见图3.3.2(d)所示]。由于规定化函数在高灰度区的值较大，所以与图 3.2.3相比，变换的结果图像比均衡化更亮，对应于均衡化图中较暗区域的一些细节更为淸晰。从直方图上看高灰度值一边更为密集。4

应用举例直方图规定化，设计程序如下图：

程序运行结果如图4.4所示：5