广中平祐：学问只有在“发现”和“创造”中才会产生意义丨展卷

2022年7月5日，菲尔兹数学奖名单揭晓，美籍韩裔数学家许埈珥（June Huh）位列其一。许埈珥少年时期的梦想与数学毫不相关，引领他走进数学世界、毫无保留教授他的，是上一辈的菲尔兹奖得主广中平祐。有趣的是，两人都是在39岁时获奖。

广中平祐是20世纪代数几何的先驱之一；最著名的贡献是1964年部分解决了代数簇的奇点解消问题，并因此获得1970年菲尔兹奖。米哈伊尔·格罗莫夫认为广中平祐在“奇点解消问题”上的贡献，是世界上最难得到的成果之一，在当今仍然无人能望其项背。

从广中平祐的自传《数学与创造》中，我们可以一窥大师的风采。

本文经授权节选自《数学与创造：广中平祐自传》（人民邮电出版社2022年11月），标题为编辑所加。前往《返朴》，点击“在看”并发表您的感想至留言区，截至12月17日我们会选出2条留言，每人赠书一本。想要获得更多赠书机会，请移步今日三条。

撰文丨广中平祐

1 奇点消解问题

漫漫人生路上，每个人都会怀揣各种梦想阔步向前。

有的人认为自己从出生到现在几乎没有过像样的梦想，但其实他们的梦想不比那些现实中拥有很多梦想的人少，只不过那些梦想随着时光的流逝还没来得及实现就消失了。

有的梦想微不足道，有的梦想宏伟远大。有的梦想不会因岁月而褪色，有的梦想在未能实现的时光中像泡沫一般消失。

有的梦想似乎能立马实现，有的梦想脱离现实，无论我们付出多少时间和汗水都无法实现。

无论怎样，梦想是一个不可思议的东西。即使无法实现，但只要你的心中仍怀有这份梦想，它就会给你带来生活的动力，使你的心灵变得富足。

我年轻时也拥有过这样的梦想。

三十年前，我在读大学三年级的时候，就下定决心走数学这条道路。我对数学中的代数几何格外感兴趣，并投入了极大的学习热情。

代数几何在百年前以意大利为中心发展起来。不过，它的起源可以追溯到法国哲学家、物理学家、数学家笛卡儿（1596-1650，解析几何的创始人）。笛卡儿发明了由 X 坐标和 Y 坐标构成的坐标轴，由此，各种各样的图形可以变换成代数方程。反过来，随着坐标系的发展，复杂的方程也可以转换为图形。代数几何学就是以解析代数方程定义的图形（代数簇）的结构为目的发展起来的。

用更加专业的术语来讲，代数几何学这门学问研究的是由有限个变量 x1 , x2 , …, xn 的有限个多项式所构成的联立方程f1(x)=f2 (x)=…=fn (x)=0。

我原本非常喜欢几何学。然而，当时的我参加了京都大学举办的代数几何学研讨班，在那里，代数几何学让我感受到了几何与代数中都没有的乐趣。

我第一次在京都大学研讨班上接触这个课题——奇点解消问题。当时，数学界并不是没有奇点解消的理论。虽然任何维度的

图形都会产生奇点，但维度小于四的图形中的奇点，其解消理论早已诞生。

然而，当时的理论还不足以称为定理。人们普遍认为这个定理可能要很久之后才会出现，甚至怀疑是否真的存在这样的理论。之所以这么说，是因为三维图形的奇点解消理论给人留下一种很别扭的印象，总之十分费解，让人觉得没有比它更难的东西了。

三维图形的奇点解消理论已经如此深奥，那么四维以上图形的奇点解消理论就更加遥不可及了吧。我想这是参加研讨班的同学们的共识，也是全世界数学家们的真实想法。这是一个从未有人解决过也没人能解决的世界难题。

换一种稍带神秘色彩的说法解释奇点解消定理，那就是它是一种解析物体本身与其影子之间关系的理论。

用过山车轨道的例子来说明，就是该定理用于证明没有奇点的过山车轨道本身与具有奇点的过山车轨道影子之间的关系。一旦发现这样的定理，就能彻底消除奇点，所有影子就会与其本身如出一辙。

当时的我尚未拥有十分精湛的数学技能，也并非天赋异禀之人，所以压根没想着去挑战这个问题。

十年后，也就是1962 年我完成论文《在特征零的域上代数簇的奇点解消》，并于 1964 年在美国的《数学年刊》（Annals of Mathematics）上发表。作为 20 世纪的数学定理之一，这个奇点解消定理应用广泛，得到了很高的评价。

我用一个例子来解释一下这个问题。

假设要建设一条连接东京和大阪的高速公路，路线中间会绕琵琶湖一圈。然而，按照这种施工要求去建设会在某地形成一个交叉点，所以我们无法在平面上建成一条没有交叉点的高速公路。这个交叉点就是奇点。那么我们要如何消除奇点呢？

绕湖一周的道路只要采用立体交叉的方式建造就可以了。也就是说，只要增加一个高度就能解决问题。在数学领域中，这种做法叫增加参数。在平面户型图中，一楼和二楼的厕所错综复杂地重叠在一起，让人难以区分清楚，但若加入高度这个参数，则变得一目了然。

虽然通过增加高度这个参数消除了道路本身的交叉点，但是上下两段路落在地上的影子仍然存在交叉的地方。也就是说，尽管道路本身没有奇点，但是它们的影子中依然存在奇点。那么，该如何消除影子中的奇点呢？这就需要不断增加或减少参数。

这只是平面中存在的奇点问题，令人棘手的是任何维度的图形中都会产生奇点。奇点解消的目标就是消除任意维度的图形中产生的奇点，并证明能实现这一目的的理论。

所有现象都可以用图来表示，经济现象也是如此。如今经济发展日新月异，表现出的经济现象涉及多个方面，需要分析的参数也随之增加，用于阐明复杂的经济现象而制作的图也成了多维的。如果用一张图来表示所有的经济现象，那么复杂的图形中会出现很多交叉的或突出的奇点。在这种高维的图中，如果我们对其中产生的奇点置之不理，在分析现象时就会很难进行计算，普通定律根本不奏效。在这种情况下，如果能用奇点解消定理将其转换成没有奇点的图，不仅计算会变得简单，方程也会变得容易处理。错综复杂的经济现象通过若干图表的简单组合就能清晰地呈现出问题的内容了。

这就是奇点解消定理的应用示例之一。

最开始这个问题被无数人否定，包括当时是法国数学界的代表人物之一克劳德·夏瓦雷。

但是在法国的韦伊（A.Weil）和塞尔（J.-P.Serre），美国的扎里斯基（O.Zariski）等多位数学大师的的鼓励下，我终于突破最后一道防线，找到了解决问题的大方向。

我的研究目标是创造一个可以解决任意维数奇点解消问题的理论。

我秉持坚韧不拔的信念，经过多次挑战和不懈努力，终于用不同于扎里斯基教授的方法解决了任意维数的奇点解消问题。并在1970年获得了菲尔兹奖。

2 逆境与人

人活着就要学习，学习充满乐趣；人活着还要有所创造，创造的过程中蕴藏着在学习阶段无法体会到的惊喜。它适用于任何人的人生，做学术的人更应该铭记于心。

换句话说，我认为学术界中学习的乐趣和创造的乐趣就是思考的乐趣。无论什么领域的学问，唯有获取新的发现，有所创造，才会有它存在的意义。学问只有在“发现”和“创造”中才会产生意义。

机械地输入输出知识不会产生学问，也不值得我们对其进行评价。各种各样的知识是思考的资料，而读书则向人们提供思考的契机。

有了这样的思想准备，知识积累起来就会变得意外轻松，读书也不再是一件苦差事。思考时用耳朵听、用身体感受、用眼睛阅读，思考后忘掉此前的所见所闻也无妨。倘若以“不能遗忘”的标准来要求自己，那么在真正做学问前就会身心俱疲，没有动力去学习了。做学问原本就没有那么难，喜欢思考的人都可以做学问，都能体会到其中的乐趣。

这是我在自己历经半个世纪的人生之旅中得出的结论。下面我想先谈谈年轻朋友们的人生。创造的动力究竟从何而来？创造背后的重要条件是什么？下面我想与大家一起来思考一下这个问题。

法国著名数学家庞加莱（Poincaré）曾说：“创造就像蘑菇。”作为一个日本人，一说起蘑菇，我立马联想到了松茸。也就是说，按照庞加莱的说法，松茸之类的蘑菇就是创造。

众所周知，松茸在地表下长有菌根。在极其适宜的条件下，它的根会在生长的过程中形成圆形的蘑菇圈。然而，如果松茸的根一直处于这种适宜的条件之中，菌根就会疯长，无法长成蘑菇，最终衰老枯萎。

据一位很懂植物的朋友介绍，有的松茸甚至可以在长达 500 年的生命历程中只长根，不长蘑菇。那么，怎样才能长出蘑菇呢？我们必须选取一定的时机，给发达成熟的根部施加干扰菌根生长的条件。此时的干扰条件可以是季节更替带来温度变化等外在的自然条件，也可以是使用松香或酸性物质等物质进行干预的人为条件。

总之，施加此类条件后，菌根为了继续生长会在根部不断形成孢子形态的种子，不久后便会长成松茸。

创造就像松茸。对于庞加莱说的这句话，我的解释如下。

人若想有所创造，首先必须经历一个积累的阶段，就像松茸的根在地表下不断生长一样。但是，倘若一直处在积累的阶段，就会像松茸无法形成蘑菇而走向枯萎那样，注定此生与创造无缘。

在实际生活中，往往是“逆缘”给我们带来奋勇向前的动力。“逆缘”用我们常用的词语来表达，就是“逆境”。

3 创造与情绪

有些人会对自己的先天条件持否定态度。例如，有人感叹，正是因为从父母那里继承了聪明的头脑，人生才走错了路。相反，也有人抱怨父母的脑袋不灵光，所以自己很难成事。甚至有富家子弟觉得自己要是像二宫金次郎那样出生在贫苦家庭，肯定会好好学习。

与之相反，有些人会积极地看待自己的先天条件，并把这些条件全都用于提升自我。

我记得松下幸之助好像在哪里说过“景气好，不景气更好”这样的话。把这句话套用到人生上，就是“顺境好，逆境更好”的意思。对一些人而言，无论是顺境还是逆境，他们都能走向成功。

在我看来，世上的所有成功人士，都具备把逆境转化为自己人生宝贵财富的能力。不得不承认，创造也与逆境密不可分。

我在巴黎遇到过一位学者，这一点在他的身上体现得淋漓尽致。1958 年，也就是我在哈佛大学留学的第二个年头，学校从法国请了一位数学家过来讲课。这位数学家叫亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck），在代数几何领域，他是一位赫赫有名的大人物。当时致力于研究代数几何的约翰·泰特（John Tate）教授在哈佛大学任教，在他的建议下，校方决定让格罗滕迪克来美国做为期一年的特聘讲师。

格罗滕迪克不是高校的教授，他是法国高等科学研究所（IHES）的研究人员。法国高等科学研究所是一个私立研究所，主要创始人是原巴黎大学的数学教授迪厄多内（Dieudonné）和酷爱数学的实业家莫查纳（Motchane），经费也主要是他们两人从商界筹集来的。当时哈佛大学看中格罗滕迪克的才华，向他抛出橄榄枝。如此能力出众的他为何从来没有在大学担任过教授呢？这跟他的出身有关。

与扎里斯基教授一样，格罗滕迪克也是犹太人，1928 年出生于德国柏林，父亲是革命家，母亲是记者。在第二次世界大战期间，他被迫进入德国的收容所，16 岁时随母亲一起来到法国。受时代背景和家庭环境所限，他未接受过正经的初等教育。然而，他进入蒙彼利埃大学后，充分展现了自己的数学才能，并在后来成为菲尔兹奖得主。

格罗滕迪克是如何躲过德国纳粹的围捕逃到法国的呢？他在蒙彼利埃大学是跟随哪位教授学习，从而挖掘出数学才能的呢？在成为法国高等科学研究所的研究人员之前，他又经历了什么呢？对此，我几乎一无所知，但我知道他是犹太人，而且没有国籍。美国的大学向所有的有识之士敞开教学的大门，完全不介意教授是否有国籍，也不介意国籍是哪里，哈佛大学就是如此。但是，法国和日本很像，奉行等级森严的官僚制度，无国籍人士是不允许担任大学教授的（现在似乎有所改变）。

尽管拥有聪明的头脑和高深的研究课题，但因为自己的出身，格罗滕迪克从未当过教授。幸运的是，我在哈佛大学留学期间听了一年他的课。

当时的格罗滕迪克将研究领域从解析几何转向代数几何后，开始了彻底改写代数几何学基础的工作，不断推进概型理论的创立。

在听课和切磋学术的过程中，我与格罗滕迪克成为好朋友。有一天他问我，等他在哈佛大学的教学任务结束以后，是否愿意与他一起回巴黎的研究所。当时格罗滕迪克对我的研究给予了很高的评价，并邀请我到法国高等科学研究所工作 6 个月。

在第二次世界大战爆发之前，德国是研究数学的中心，战后中心转移到了法国。20 世纪 50 年代，法国数学称霸整个欧洲，全世界的顶尖数学家都聚集在那里。有一种观点认为，数学家若不具备这种国际性，就算不上真正的数学家。我自然接受了格罗滕迪克的邀请。

1959 年年底，我来到了期待已久的法国。现在的法国高等科学研究所位于巴黎郊外一个叫伊维特河畔比尔的地方，规模相当庞大。然而，当初的研究所只是租用了市内一家博物馆的一层楼，研究所内仅有办公室和教室。成员只有四人，包括创建者迪厄多内和莫查纳，还有被迪厄多内发现的格罗滕迪克，以及一位秘书。

我是这个研究所的第一个外来成员。在此后的半年间，我既是研究所的成员，又是格罗滕迪克的学生。虽然仅有短暂的半年时间，但我学到了很多宝贵的东西。

格罗滕迪克是个了不起的人物，他能在数学世界中无所畏惧地进行探索。一般来说，数学家会花很长时间来选择适合自己的研究课题，但他是一位非常豪爽、不拘小节的“怪才”，无论碰到什么课题都照单全收。他精力充沛，一天之内能写出一二百页的论文，并能从中迸发出新的想法。总之，他是一位非同寻常的激进型学者。

1966 年，在莫斯科召开的国际数学家大会上，格罗滕迪克被授予菲尔兹奖，他开创了代数几何的一个新纪元。他的主要成就简单来说就是为了严密地证明韦伊猜想，在代数几何学的基础上完全使用了上同调代数学，并提出了“格罗滕迪克同调”的新概念。我从格罗滕迪克身上认识到了数学家的多样性，并且受到了他的影响。

同时，从格罗滕迪克对数学这门学问的态度中，我学到了无法替代的东西。

格罗滕迪克对数学的执念和热情十分惊人。他的这种执念和热情是从哪里来的呢？带着这样的疑问仔细观察他的学术态度后，我认为这可能来自于他经历过的让人难以想象的逆境。

格罗滕迪克从来没有向我倾诉过他的艰辛经历。一是他不是这样的人，二是即使我向他打听，也无法真切地感受到他从德国的收容所逃到法国，没有国籍，专心钻研数学的残酷经历。

此外，对于他人眼中那些凝结着心血与汗水的艰辛经历，他本人可能从未觉得困难和辛苦。人在对某件事着迷的时候，即使吃再多的苦，也不会觉得辛苦。虽然我的经历完全无法与格罗滕迪克的相比，但通过我自己的经历可以推测，他应该也不曾感到辛苦。

无论如何，我认为连续不断的逆境最终转化为他对数学的热情，也许正是这一腔热情支撑着他干劲十足地开展着创造性活动。

有人曾说，艺术家若想一直从事创造性活动，就要保持饥渴的状态。我从格罗滕迪克这样的数学家身上发现，这句话也适用于学术界的创造性活动。我认为学者也是如此，若不保持饥渴状态，就无法持续地进行创造。

人们普遍认为数学这门学问与感情或热情没有什么关系，但按照前面所讲的内容，数学的创造性活动似乎与热情有着千丝万缕的联系。看上去与人的热情无缘的自然科学，在我们创造新的理论、定律、定理时，恐怕都要大力借助这种热情的力量。

4 欲望与需求

创造需要热情的力量。艺术界中的创造自然不用说，各类学问的创造和日常生活中的创造也需要这种热情的力量。那么，这股热情具体指什么样的感情呢？

爱迪生说过“需求是发明之母”（necessity is the mother of invention）。这句话的意思是需求会催生发明或创造。不过，“需求”这个词语又该如何解释呢？

“需求”在英语中主要有两种表达方式，一种是 needs，一种是 want。虽然它们都被翻译成“需求”，但实际上二者的意思并不相同。

从空间层面上讲，needs 这个词用于表示判断外部情况后推断出来的需求，从时间层面上讲，用于表示以人从过去到现在所积累的经验和形成的认知为标准推断出来的需求。而 want 表示内部需求，从时间层面上讲，表示现在和未来的需求。也就是说，want 是包含欲望和短缺等含义的“需求”。

说点题外话。我们经常在企业的宣传册上看到“精准捕捉消费者的需求（needs）……”之类的话，我认为这种表达方式不太恰当，因为 needs 是从过去的认知中推断出来的，如果按照这种方针经营，那么企业可能会走向衰落。如果非要表达这种意思，我认为应该写成“准确把握消费者之所想（want）……”。

总之，needs 是理性判断的产物，而 want 是当下自己内心的一种执念，一种难以忍受的需求。我认为，对创造而言，needs固然不可或缺，但有时没有 want 也是不行的。也就是说，在支撑创造性活动的背后，必须有“要是创造出这样的东西就好了”这种原始的欲望，以及不断探求所缺之物的执念。

我想向年轻的读者朋友特别强调这一点。人在决定自己未来的发展方向时会有各种各样的信息作为参考。例如，根据自己的偏差值 A 选择院校和专业，或者根据职业种类选择就职企业等。很多人就是这样根据各种信息推断出自己的需求，继而决定自己的发展方向的。

但是我认为，按照这种方式做出决定的人，如果不能通过某种方法将 needs 转换成 want，就会在实践中遭遇挫折。总之，拥有“我想钻研这门学问”“我想从事这项工作”的欲望是不可或缺的。

格罗滕迪克和扎里斯基教授都是那种在难以想象的逆境中保持饥渴状态的数学家，他们取得辉煌成就的原因之一就是拥有want，这种热情在向他们源源不断地提供前进的动力。

总的来说，在创造的过程中需要实现飞跃。创造的东西越新颖，实现飞跃就越重要。实现飞跃必须借助内在欲望的力量。我认为，飞跃的原动力并不是 needs，而是 want。

纵观数学史后判断出有必要解决这个问题并不是我对奇点解消问题产生兴趣的原因。也就是说，我不是因为认识到了 needs才决定去解决这个难题的。我只不过觉得发现奇点解消定理是一件很酷的事而已。可以说，我对未来数学的 want 让我迷上了这个问题。而且，正是这种源自内在的 want，在长达八年的时间里一直支撑着我的梦想，并提供了向创造飞跃的原动力。

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