发散级数怎样求和？

在数学研究以及实际应用中，经常会涉及各种发散级数。数学家们试图给这类发散级数客观地指派一个实或复的值，定义为相应级数的和。本文介绍了发散级数两种最著名的广义求和方法，解读切萨罗求和背后的平均化思想和遍历理论，并给出了一个有趣等式的证明。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

学过初等微积分中关于无穷级数收敛理论的读者，看到本文标题后，或许会问：“级数既然发散，岂能求和？”不错，他们的质疑精神可嘉，应该大力提倡。不过本文要讲的是，怎样求发散级数的“广义和”。这是个有趣也有用的问题，因为不仅在数学上许多级数不幸是发散的，在物理上也是如此。正如力学家孙博华教授最近告诉我的，对描绘非平衡态热力学系统之统计行为的玻尔兹曼方程，求解“查普曼-恩斯科格展开 (Chapman-Enskog expansion)”，就面临着棘手的发散级数问题。

收敛还是发散，这是个问题

任何标准的微积分教科书中都严格定义了何时称一个级数“收敛”、什么是收敛级数的“和”，

何数，没有任何数学意义，遑论求和了。然而，无穷级数的求和基于对“求和”的合理定义，既然经典的定义不能对级数求和，我们寻找的是能不能补充定义，对它“广义求和”。

发散级数的“广义求和”首先需要一个合理的定义。这里的合理性自然包括要满足两个基本要求。一个是，如果级数本身在通常的意义下已经收敛，由广义求和法得到的“和”就应该等于级数在原先意义上的和。这个要求说明“广义求和”具有“狭义求和”的“遗传性”。另一个要求是基于传统求和法的线性性质。我们知道，微积分中的许多运算如极限、求导、求积分等都具有线性特征，例如求导代数法则[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x)。对于级数而言，也有

切萨罗求和

怎样定义满足如上两个合理条件的发散级数广义求和法呢？一个好的思路是“平均化处理”，或用更时髦的专业术语：“切萨罗算术平均法”。这个法子是用来对付不收敛数列的，而级数的收敛性或发散性，根据定义，实际上是关于给定级数的部分和数列而言的。所以我们来考虑怎样让一个不收敛的数列转变为一个“收敛数列”。先举个简单例子。

对数列的收敛性有巨大帮助，而且它也让统计物理成长为一个令人尊敬的学科。甚至对于人类社会的福祉和安定，现代国家在税收上实行的“富人多缴税穷人拿福利”政策，体现的多半也是仁慈的平均化思想。

切萨罗 (Ernesto Cesáro，1859-1906) 是意大利的微分几何学家。尽管他写过一本关于内蕴几何的书，其中描绘了现被称为“切萨罗曲线”的一类分形，以及几本微积分教材，但他提出让可能发散的数列收敛的平均化途径，或许对后世的影响最大。

读者自然会问，如果数列本来就已收敛，那么它的切萨罗算术平均数列也收敛并收敛到同一极限吗？答案是“Yes”。这是数列极限理论中的一个简单命题，在这里我们不妨把它证出

于是他轻率地在等式两边代入x=1，得到等式1/2=1-1+1-1+1-…。然而，这离真理还差了一步。今日，每一个学过初等级数理论的理工科大学生都知道上述幂级数的收敛半径为1，且收敛区域仅仅是开区间(-1, 1)。所以欧拉用了错误的幂级数赋值法所得到的是发散级数的广义和。其实，如果他将-1分别乘以如上幂级数展式的两端，得到一个非幂级数形式的函数项级数

然后再如法炮制地代入x=1，便有同一常数项级数的另一个“和”

这是多么荒唐的“数学”啊！泊松-阿贝尔广义和

倘若有读者理解上一段有点困难，可以这样想象“非一致收敛”：设想一群好汉同一批骏马同时奔向十里以外的目的地。虽然这些人和马迟早都会跑到终点，然而骏马却远远地将长跑好手甩在后头。如果把这一赛事视为函数数列，那么每位选手都“收敛”，然而马与人之间悬殊的速度差距导致到达终点的快慢“不是那么一致的”。
在A上一致收敛有个令人喜悦的好处，就是只要函数项级数中的每一项函数都在A上连续，那么级数的和函数也一定在A上连续。回到阿贝尔定理的结论，因为幂级数中的每一项都是

瑜亮之间

那么，切萨罗广义求和算术平均法与泊松-阿贝尔广义求和幂级数法有关系吗？有。它们的基本关系是：如果发散级数能用前者广义求和，那么用后者也行，并且两种广义和相等。这个结果称为弗罗贝尼乌斯定理，证明如下：

平均化与遍历理论

然而，如果认为泊松-阿贝尔广义求和幂级数法因为比切萨罗广义求和算术平均法更强而在分析数学中更为得宠，那可能是不正确的印象。实际上，现代数学中的一门综合性学科——遍历理论，从根本意义上讲就是关于平均的学问。五花八门的“遍历定理”，说穿了，就是研究不同种类的“算子序列”在切萨罗算术平均意义下的收敛性质。

从事泛函分析研究的学者，大概会认为耶鲁大学的分析大师纳尔逊·邓福德(Nelson Dunford，1906-1986)和他的学生雅各布·施瓦茨(Jacob T. Schwartz，1930-2009) 合写的经典著作Linear Operators Part I：General Theory（《线性算子I：一般理论》）是这门纯数学分支的“圣经之作”。我于1988-89学年和师兄弟们在密歇根州立大学数学系，选修博士论文导师李天岩 (1945-2020) 教授的课《[0, 1]上的遍历理论》时，听到他的一句评述：“这本书本质上讲的是遍历理论。”那时，我刚修完阿克斯勒 (Sheldon Axler，1949-) 教授的学年课程《高等泛函分析》，用的主要参考书包括泛函分析名家康威(John B. Conway，1939-)写的教科书A Course in Functional Analysis（《泛函分析教程》）。虽然我从阿克斯勒教授三个学季的优美讲解中学到不少知识，但在课堂上却一点也没有闻到遍历理论的气味。修了李教授极具吸引力的课后，我的研究兴趣从最优化理论转向遍历理论。为了确认导师“所言不虚”，也为了让自己夯实基础尽快“进入角色”，我开始阅读以前没有翻过的《线性算子I》。此书正文就有730页，最后一章的标题为“应用”，主题就是遍历理论，而之前的七章实际上都是为它服务的“预备知识”。

从上世纪三十年代初的冯·诺伊曼平均遍历定理和伯克霍夫逐点遍历定理开始，近百年来出现了众多的遍历定理。作为代表，我在此只举一个关于矩阵的遍历定理，因为学过初等线性代数的读者都能看明白。假设m×m矩阵S所有特征值的最大绝对值为1。就像单位复数e^ix的正幂次数列e^inx几乎都不收敛一样（读者可令x=π/4试一试看看发生了什么，再检查对应的切萨罗算术平均数列有没有极限），矩阵S的正幂次序列S^n一般也不能指望收敛，除非S还满足其他性质，比如它的元素全是正数。然而，只要幂次序列S^n是一致有界的，它的切

不可思议的等式

回望无穷级数的求和史，在十八世纪，对微积分各部分的发展立下丰功伟绩的欧拉，对级数收敛与否有时缺乏耐心的检验，和其他同时代的数学家广泛地使用了发散级数而不顾后果。一个主要原因是欧拉持有这样的观点，即任何发散级数都应该有一个自然和，却没有给出收敛级数之和的明确内涵。无穷级数收敛的精密含义问题被十九世纪的柯西 (Augustin Cauchy，1789-1857) 解决了，他给出了级数收敛的严格数学定义。然后在几十年间发散级数因为“无‘和’可言”而被分析学家们排除在外，似乎无资格登上数学的大雅之堂。到了1886年，由于庞加莱 (Henri Poincaré，1854-1912) 研究了所谓的“渐近级数”，发散级数重返江湖。之后在1890年，切萨罗正式定义了某些发散级数的求和，即今日以他名字命名的广义求和算术平均法，尽管早他十年前此法已由弗罗贝尼乌斯 (Ferdinand Georg Frobenius，1849-1917) 隐式地用到过。如今，发散级数求和法成了一门学问，除了本文介绍的两个最为著名的方法，还有黎曼求和、赫尔德求和、拉马努金求和等等其他为了不同情形、不同目的而定义出的发散级数广义求和法。

既然提到了印度传奇数学天才拉马努金 (Srinivasa Ramanujan，1887-1920)，我们大致解释一下为何他的求和法会得出这个令人惊掉下巴的结果：1+2+3+4+… =-1/12 ，来作为本文的压轴戏。这个奇怪和式左边的级数通常都被理解为发散到正无穷大，并且无论是切萨罗的算术平均法还是泊松-阿贝尔的幂级数法都无法对它广义求和。然而拉马努金在他1913年2月27日写给英国数学家哈代 (Godfrey Harold Hardy，1977-1947) 的第二封信中，告诉了对方上述不可思议的等式。信是这样写的：“亲爱的先生，我非常高兴阅读了您 1913 年 2 月 8 日的信。我一直在期待您的回复，类似于伦敦一位数学教授写信要我仔细研究布罗姆维奇的无限级数且不陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，根据我的理论，级数的无限项之和：1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = −1/12。如果我告诉你这点，你会立即说疯人院是我的归宿。我详细阐述这一点只是为了让您相信，如果我在一封信中指出我将继续进行的内容，您将无法遵循我的证明方法。……”

在拉马努金著名的“笔记本I”第8章，他给出了所论等式的两个证明，第一个是形式化的，缺乏论据，第二个用到了黎曼 (Bernhard Riemann，1826-1866) 的ζ-函数，符合严格性。分述如下：

形式“证明”：令

s=1+2+3+4+5+6+…，

两边乘上4，得

4s=0+4+0+8+0+12+…。

将第一个等式按这里“安插”了许多0的上下对齐方式减去第二个等式，就有

s-4s=1-2+3-4+5-6+…，

而后一个级数的广义和之前已用泊松-阿贝尔幂级数法求得是1/4。故有方程-3s=1/4，解之得s=-1/12。这个证明自然不能令人信服，但它激发了令人信服的如下证明。

严格证明：令z=x+iy。考虑黎曼ζ-函数

写于2023年12月9日星期六美国哈蒂斯堡夏日山庄
致谢：感谢西安建筑科技大学力学技术研究院孙博华院长鼓励作者写作本文并提供建议。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

监制：中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司

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