控制理论，一段故事（1）

小张选择了一片空地。准备建设自己的家园。水无疑是最重要的，日常生活里少了水可不行，这片空地旁有条河，小张看中这里也正因如此。但令小张苦闷的是，每次用水的时候都需要自己去挑，偶尔还好，随着需求的增加，这样的方式明显越来越累。有人说这好办，雇个人专门负责呗，但雇人也得用钱不是。于是小张去河边看了看，正好有一个合适的地方，可以安装水管，这样每次当他需要用水时，打开水龙头就可以了。大家想一想，从需要用水到打开水龙头，一般不需要什么其他的操作，一条线下来就可以了，所以这种方式也被称为开环控制。

水的来源解决了，接水时又出现了一个问题，因为无论大小，只要是容器，它的容量是有限的，所以接水时，小张需要在旁边随时观察着水位情况，一来二去每天有很多的时间花费在这个方面，处理这个问题的一种思路是引入定时器，通过生活经验可以知道接满一个具体的容器大概需要多长时间，然后设定定时器，到点自动关，这是另一种开环控制。

有同学可能要问，其他的我都知道，为啥不叫直线控制，叫什么开环控制，引入“环”这个字做什么？我们接着看，设定定时器这个思路很有用，但对于不同容器情况，这种思路不怎么适用，每换一个容器得重新设置一下定时器，这比较麻烦，我们研究控制，最主要的目的还是能省事就省事，得抽出时间去做其他更要紧的事情。

于是小张分析了接水过程，发现其中一个重要的环节就是测水位然后把信号再送回人，人再去关闭水龙头，流程上形成了一个环，把这个过程画成图后，可以画出一个圆圈，所以被形象的称为闭环控制。而“测水位把信号送回人”这个部分如果去掉，我们就又回到了上边的定时器场景，所以为了展现区别，使用了开环控制来描述。

这样，小张获得了一个可以控制水位的系统，别的不说，接水时省了很多事情，水龙头一扭，需要时直接拿走，不用担心其他问题。等的这段时间就可以做其他事情了。引入的这个部分丛直观上讲比较简单，似乎是理所应当的东西，但如果我们抽象一下，用一个词来形容这个部分的功能，我们就可以想到反馈这个词，这个问题的解决“反馈”做了很大贡献。既然效果这么好，我们接下来处理问题时可以从这个角度出发了。

过了不久，又有了一个需求：水虽然有了但是凉的，能不能接点热水？这样喝水时比较方便，这个简单，在水管上开了一个分支，加入了一个加热器（比如锅炉），剩下的都相同，这样出来的就是热水了。在安装完成后，小张接了一杯，但刚拿起来差点就掉在地上，因为温度实在太高，于是一个更加高级的需求产生：能不能直接出温水？这样也不需要在旁边再晾一会儿，还能防止烫伤。

拿到这个需求时，小张梳理了一下，温水？好办，设计两个管子，一边加冷水，一边加热水，随时检测温度，温度高了加冷水，温度低了加热水。这样不就行了。这种简单闭环的设计思路被称为开关控制，很快搞了出来投入使用。

但有些事情并没有那么简单，小张使用时发现，这个开关控制的思路存在着一些问题，比如这种设计理论上很好，实际中，尤其是到温度线那里时，温度差一点，热水开关打开，温度上升很快超过了界限，然后冷水开关打开，温度又迅速下降低于界限，如果把温度曲线绘制出来，可以观察到反复震荡的图像。等到温度差不多了。估计出来的水都能装满一个池塘了。

有一个很直接的道理：既然想自动，首先得明白怎么手动。所以为了摸清楚里面的机理，小张决定拿上温度计，自己手动去调节，看看怎么得到温水。经过一系列的实验后，特别是烫了不少次手、浪费了不少水后，小张总结了里面需要用到的一些技巧，比如在温度比较低时，把热水开关开大，随着温度的升高，逐渐关小热水开关，以控制温度上升速度，如果温度超过期望值，则逐渐打开冷水开关。简单来说，需要关注的量，就是温度的差值和温度的变化速度。

那么，温度的变化怎么衡量呢，高中数学告诉我们，求导，导数就是用来衡量变化的，没有接触过导数的同学也不用着急，只要记住他是一个衡量变化的量就可以。至于累计的变化量则用积分表示，这里的积分并不是我们常说的游戏里的积分，它是一种求累计的工具，摸清楚这个机理之后，小张在原有的反馈机制里，用电路等形式加入了求导和积分环节，模仿自己手动操作，用来处理变化速率问题。如果大家之前接触过控制，问问自动化专业的学生什么方法最常用，大部分人都会说PID，听上去很高大上是不是，其实我们这段说的就是至今仍然在广泛运用的PID控制算法。

到这里，小张获得了一个可以随时接温水的机器，暂时没有了其他问题，装修完新家后，邀请了一些朋友来家里玩，顺带给大家介绍介绍自己的心血。其中有位朋友叫小王，是数学系的，对这套温水器感觉非常好奇，仔细听过小张的经验介绍后，提出了一个问题：**你怎么能够确定，经过你这个调节方案，能够达到你所期望的值呢？**小张一时难以回答，因为他在实践中确实也发现，一些调试方案不能达到预期的效果。

小王感觉到这是一个值得讨论的话题，回到学校后，和同事讨论了起来，他们首先画了整体的图，然后找了几组变量，列出了再熟悉不过的方程，因为包含求导和积分环节，被称为微分方程，然后就开始解，解完又求了各种参数，还探讨了几种新解答。

不过大家也都知道，普通方程有时都很难解，更不用说微分方程了，而要是想解决上边这个问题，还真得知道解的情况，此时有人提出，哎，咱们可以只盯着输入输出啊，说白了就是把温水器看成一个整体，只关心输入多少与输出多少的比值，里面的机理暂时不用描述太多，又有人提出，我记得拉普拉斯他老人家好像提过一个变换，可以简化微分方程，然后一顿操作，得出了一个输出与输入的比值函数，它反映了这个系统的基本性质，至于叫法不同，有的叫传递函数，有的叫系统函数。

拿到这个函数，要分析它什么性质成为一个问题，小王看了看现场需要，发现现场总是需要经过控制达到一个输出稳定的状态，比如输出恒温的水，输出稳定的电流，保持一定的水位，而这种状态，转化成数学，就是当时间趋于无穷时函数是否有一个固定值，如果有，就可以说这个函数是稳定的。

问题清楚了，剩下的就是求解，根据前面的说法，前面的传递函数是输出输入之比，大家想到比值会想到什么呢，分母不能为零。那么这个使分母为零的点就是一个需要关注的点。

这里为了方便下面结论的理解，我们稍微偏下题，1*1=1,2*2=4,3*3=9，那么谁乘以谁等于-1呢？这个问题曾经给数学带来的冲击不小，最后大家为了解决这个问题引入了一种新的数，规定i*i=-1，称为虚数，并放在了我们熟悉的数后边，举一个例子，比如2，用这种新表述就是2+0*i。如果我们把以前熟悉的数放在一条线上，而把i放在另外一条线上，让这两条线成90度，那么我们就获得了熟悉的坐标系。而那些前边数字为负数、后边i的系数无所谓的点，则全部在坐标系I轴的左侧。

我们回到主题，有了“使分母为零的点”这个可能的方向，小王很快发现，对于传递函数来说，当使分母为零的点在坐标系i轴的左侧时，它是稳定的。由这个现象出发，通过数学推导，利用方程的系数上总结了几条结论，用来判断系统的稳定性，这就是著名的劳斯稳定判据。

小王带着这个判据回去找到了小张，与他一同进行了多次实验，细致分析了温度曲线，陆陆续续规定了一些指标，比如：

上升时间（从零时刻到首次达到稳态值的时间）、

调节时间（从零开始到进入稳态值的95%--105%(或98%--102%)误差带时所需要的时间）

超调量（过渡过程的最大偏差）等；

做完这些之后，小张对于自己的系统也有了更清晰的了解，尤其是提出的指标体系更加细化，感觉到了数学帮助人思考的重要作用，但他又向小王提问了一个自己之前遇到的问题：在一些设计方案中，输出的水温比较稳定，这很好，但是用温度计一测，和期望值有点差距，比方说需要39度的水，可能输出的一直就是20度的水，这让小张感到很困惑。

小王感觉到这里面一定有秘密，于是他们又开始实验和理论分析，通过分析，他发现，这是一个系统性质。称为稳态误差，而对于如何求解，小王想起来数学上一个专门处理这类问题的工具：**终值定理。**终值二字，正是我们所要解决的前面刚提到的：“当时间趋于无穷时函数是否有一个固定值”。

到这里，似乎理论已经齐备了。但真的齐备了吗？

（未完待续）