控制理论，一段故事（三）

我们回到小张的家园，此时有了新的需求，我们在接凉水的时候有一个功能，自动监测水位，接的时候把杯子放上去就可以。但上面处理温水问题时，只关注温度了，水位问题倒没关注，既要保持水的温度，同时也要保持水位。它的输出涉及到了多个变量，势必要列出许多个微分方程。这种情况下用之前提到的处理的传递函数思想去处理有些困难。

小张列出来了这些方程，看着方程组正发愁时，小王又一次登门拜访，主要是来这里看看自己理论的具体效果，看着小张正在对着方程组发愁，上前问明白了原因，不就是解方程嘛，一个微分方程，用传递函数思想可以处理，微分方程组嘛，既然一时半会靠不上去就直接解！小王想起来解方程时经常涉及的矩阵和线性变换，顿时来了灵感，于是找了几张纸开始了推导。

在等待小王推导过程时，我们反过来再看一下传递函数，输出比输入，大家想到了什么，我们把信号拟人化的话，就像观察到一个人进入了一个黑暗房间，然后出来时发生了一些变化，比如身高、体重、外貌等方面发生了变化。比如出来后身高都高了10%，那么我们在不走进房间看的情况下，是不是可以门口立个牌子说明一下功能，至于怎么实现的，不用关心。用时髦的话，这叫做黑箱。同样的，在上篇中，人们一直把控制系统看做黑箱，只关注进去什么出来什么，至于里面具体发生了什么，没怎么关心，但是要想进一步研究，终归脱离不了内部结构。

说几句话的工夫，小王完成了推导，其实也算不得新东西，微分方程组的求解理论。把方程组的系数列为矩阵，或者反过来说把矩阵看作实行一种变换，这样就能够了解到它的内部结构，也就得到了所谓的状态空间方程。

在求解这个方程前，我们先看一下一个“小”问题，由于微分方程的系数、先后顺序、形式等区别，状态空间方程可能有多种形式，但我们知道，表面上不同的微分方程组，选取变量不同，很有可能表达的是同一件事物，也就是说需要提出一个规范形式问题，以避免出现重复工作。同时为了后面更好的处理，也有着相应的容易处理的形式，统一的称为标准型问题。

状态空间方程的解自然是人们所关心的问题，所谓状态方程的解，就是看看这个方程描述的系统到底是如何变化，小王经过推导得到了一些相关结论，比如系统解的基本表达式和状态转移矩阵。而所谓状态转移矩阵是描述系统运动状态的另一种方式，他把系统的运动看作是各种状态之间的转移。

接下来似乎就到了设计控制器了，但变量一多问题更多，比方说，之前单变量时，控制不了的情况很明显能看出来，再换个控制量就是，所以大家也不怎么讨论“如何判断某个量能不能控制？”，但多个变量以来，啪，问题来了。有哪些输出量可以被控制？小王将其称为能控性，提出了一些判据，最常用的是秩判据。

除了能控性的问题，同时也引入了观测的问题，所谓观测是指通过输出量去反过来构造出来系统的内部状态。这个问题历史也比较悠久，同样，到了多变量也有类似的哪些量可以通过测量输出而构造出来，小王将其称为能观性。也提出了观测器的说法，比较著名的是现实中称为龙伯格观测器的观测器。龙伯格观测器的主要思路是对系统进行仿真，同时利用反馈使得仿真接近于真实系统的状态，从而得到一个准确的观测量。

大家都知道，一个性质指标提出来，自然就有比较，有的完全满足，有的一点没有，有的有一点但不多，我们这里也是如此，既然得到了能控性和能观测性，那么有一个问题就摆在了小王的面前，如果一个系统是不完全能控不完全能观测，能不能得到它某一部分是能控能观的表达式，这就是所谓的结构分解。

做完了这些工作，就到了核心问题，怎么控制，说起怎么控制，小张就比较擅长了，两个字，反馈，当然由于涉及到状态空间，所以说和之前的反馈有一些区别，也就是状态反馈，由于系统的极点能够影响系统的性能，那么就依据前面的基本思想，设计状态反馈，配置极点。

得到了一种控制方案后，自然要判断它的稳定性。由于不是传递函数形式，之前的一些结论都不能使用了，因此稳定性的判断变得有些困难。

小王想起来之前讨论过的传递函数的稳定性，引入状态空间描述后，有了描述系统内部结构的工具，因此也很自然的联想到对于稳定性来讲有没有相应的区别。既然传递函数和状态空间方法的区别在于一个描述外部，一个描述结构，相应的，稳定性也可以分为外部稳定性和内部稳定性。外部稳定仅仅是规定了输出是有界的，而内部稳定才要求是渐进的，相应的内部稳定的条件更强。经过仔细的推导，利用了状态转移矩阵，小王得到了关于外部稳定性和内部稳定性的一些判据。

这样一来，对于状态空间方程的应用工具基本搞定，相应的也可以用来处理同时保持温度和水位的问题，到此似乎万事大吉，但小张算了算经费，突然发现需求明显不止这些，比如一个很显然的问题，就是能量问题，烧水是需要能量的，换句话说是需要燃料的，燃料是需要花钱的，因此找到既能够满足需求，又能够最少的消费的控制方案变得十分的重要，这在数学上是一个优化问题。这在控制上被称为最优控制问题

谈到优化，那是小王的老本行，只要你给出目标函数，给出约束的条件，数学上有很多手法用来处理这些问题，从数学方面来讲，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，说泛函大家可能觉得困惑，那就更加直接的，求取一个函数，使得其作为变量的另外一个函数取极值，小王利用自己的数学基础和对问题的仔细思考，提出了一种线性二次型最优控制方法，它是以泛函为基础的，这种方法可以通过求取黎卡提方程来解决。

到这里，以状态空间方法和最优控制为核心的新型方法，在处理一些复杂问题时，发挥了自己的潜力，因此在本科阶段课程体系中也被称为现代控制理论。

小张掌握了状态空间理论后，尤其在经过对比后，发现自己习惯用的经典控制理论比较得心应手，因此，他就在琢磨一件事情，如何将经典控制理论和现代控制理论结合起来，还是对于自己需要的系统来说，它的输入是水量和燃料，它的输出是水位和温度，用状态空间方法时候需要同时考虑，结合传递函数输入输出的思想，小张突然有了一个新的想法，能不能分开的比，拿任意一个输出比任意一个输入，这样下来就能得到四个方程，把这个方程按照状态空间的方法写在矩阵里，就得到了传递函数矩阵。

小张把他的思想告诉小王后，小王去找了一些研究方法，他发现虽然传递函数所代表的比值构成的矩阵没有深入研究过，但可以经过一系列操作，把传递函数矩阵表示成用矩阵分式描述，得到了一个多项式矩阵，而多项式矩阵的研究较为深入，小王针对多项式矩阵进行了深入研究，结合了之前提出的一些经典控制理论的分析方法，进行了推广，得到了一些不错的结果，比如逆奈奎斯特阵列法这也被称为现代频域分析方法。

最后做一个小结

人们研究多变量控制系统的频域方法，以及状态空间法和频域方法之间的联系问题之中。他们利用多项式矩阵理论和复变 量代数理论来处理多变量线性系统，并获得了丰硕的成果，使频域方法与状态空间法以前存在的明显区别开始消融，并形成了不同于状态空间， 但又与之有一定联系的多变量控制系统现代频域理论，成为现代控制理论的一个有机的组成部分。