三体

名词解释

三体（three-body problem），天体力学中的基本力学模型。研究三个可视为质点的天体在相互之间万有引力作用下的运动规律问题。这三个天体的质量、初始位置和初始速度在一般情况下是任意的。

在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。

上式中都是三维矢量，所以写成分量的话是9个二阶常微分方程，可以化为18个一阶常微分方程。然而，现阶段只能得到三体问题的10个初积分，还远不能解决三体问题。

由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，都只能根据实际情况采用各种近似的解法，研究三体问题的方法大致可分为3类：

第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；

第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；

第三类是数值方法，这是直接根据微分方程的计算方法得出天体在某些时刻的具体位置和速度。这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。

限制性三体问题

三体问题的特殊情况：当所讨论的三个天体中，有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比，小到可以忽略时，这样的三体问题称为限制性三体问题。一般地把这个小质量的天体称为无限小质量体，或简称小天体；把两个大质量的天体称为有限质量体。小天体在两个有限质量天体的引力场中运动，而不反过来影响它们，所以小天体也可以视为这两个有限质量天体引力场的测试天体。

把小天体的质量看成无限小，就可不考虑它对两个有限质量体的吸引，也就是说，它不影响两个有限质量体的运动。于是，对两个有限质量体的运动状态的讨论，仍为二体问题，其轨道就是以它们的质量中心为焦点的圆锥曲线。根据圆锥曲线为圆、椭圆、抛物线和双曲线等四种不同情况，相应地限制性三体问题分四种类型：圆型限制性三体问题、椭圆型限制性三体问题、抛物线型限制性三体问题和双曲线型限制性三体问题。

拉格朗日点

平面圆型限制性三体问题存在五个拉格朗日点。测试天体在这五个点上可以只在引力的作用下随两个有限质量天体保持相对静止一起公转。其中L1、L2、L3点位于这两个天体的连线上，L4、L5则与这两个天体构成等边三角形。

如果将两个有质量天体的引力势和系统公转的离心势画出，就会发现L1、L2、L3是不稳定的鞍点，测试天体会在外界扰动下逐渐偏离。而L4、L5在一定条件下可以形成稳定的驻点，这个条件要求两个有限质量天体中，较轻天体的质量占总质量的比例满足，其中，质量比的下界称为Ruth临界质量。

在小行星运动理论中，常按椭圆型限制性三体问题进行讨论，例如，在太阳—木星—小行星所组成的椭圆型限制性三体问题中，就有一些小行星群聚集在L4、L5点附近运动，这些小行星群被称为特洛伊小行星群。还有一些小行星在L3、L4、L5三点之间运动，称为希尔达小行星群。它们的运动周期是木星公转周期2/3倍，天文上称它们与木星形成2:3的轨道共振。

晕轮轨道

人造天体出现后，限制性三体问题有了新的用途，常用于研究月球火箭和行星际飞行器运动的简化力学模型，并发现了可以让人造飞行棋驻留在双星系统某点附近的晕轮轨道（halo orbit）。1978年，人们将国际日地探测器发往日地L1点，开启了对拉格朗日点的第一次应用。1982年，它主动变轨驶向哈雷彗星，并更名为国际彗星探测器，在这四年间，它稳定地行驶在日地L1点附近的晕轮轨道上。这是人类第一次实际运用晕轮轨道。

第二颗运用晕轮轨道的事太阳和太阳圈探测器（Solar and Heliospheric Observatory，简称SOHO），它是一颗以观测太阳为主要目的的探测卫星。SOHO于1955年12月2日日发射，已经连续运行将近30年，期间发现了超过3000颗彗星。为了观测太阳并保持与地球的通讯，SOHO选择了太阳与地球的L1点作为停留地点，但由于L1点并不稳定，实际上它是在L1点附近运转，通过科里奥利力来维持一个稳定的绕L1点轨道，运转周期约6个月。

中国的嫦娥四号在月球背面实现软着陆也离不开晕轮轨道。2018年6月14日，中国将鹊桥号中继卫星成功移动至地月拉格朗日L2点的晕轮轨道，这样能在月球背面上空稳定地悬停，从而在地球和月球背面建立通信信号中转站。2019年3月，嫦娥四号使用鹊桥中继卫星进行了软着陆，并传回了月球背面的图像。

2021年12月25日，詹姆斯·韦布空间望远镜（James Webb Space Telescope）发射升空，并在2022年1月24日驶入日地系统的L2点晕轮轨道。它将接替哈勃空间望远镜继续探索深空奥秘。

研究简史

牛顿的引力理论正确预测两个互相吸引的天体（比如太阳和地球）的运动规律——它们的轨道基本是椭圆形。但如果有3个天体（比如太阳、地球和月球）互相作用，它们的运行轨道有什么规律？这就是著名的“三体问题”。

“三体问题”的提出可以追溯到1687年，当时英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）运用他的引力理论正确预测两个互相吸引的天体（比如太阳和地球）的运动规律——它们的轨道基本是椭圆形。但如果有3个天体，比如太阳、地球和月球相互作用，它们的运行轨道是什么样的？牛顿把这个问题写在了《自然哲学的数学原理》第一卷的第66号命题中。

1767莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出了三个周期解，其中三个物体在任意时刻均共线，这就是前三个拉格朗日点L1、L2和L3。1772年，约瑟夫·路易·拉格朗日拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）找到了剩下的位于等边三角形位置上的稳定点L4和L5，小天体在这五个点上可以随两个有限质量天体一起周期性地同步公转。

1889年，法国数学家、天体力学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）将复杂的三体问题简化成了所谓的“限制性三体问题”。但他发现，即使对简化了的限制性三体问题，在同宿轨道或者异宿轨道附近，解的形态会非常复杂，以至于对于给定的初始条件，几乎没有办法预测当时间趋于无穷时，这个轨道的最终命运。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，这被称为“混沌现象”（chaos），表明了通常情况下三体问题的解是非周期性的。

20世纪70年代，美国数学家罗杰·布鲁克（Roger A. Broucke）、希腊天文学家John D. Hadjidemetriou和法国天文学家米歇尔·赫农（Michel Hénon）等人借助计算机得到了一套特殊的数值轨道解，这些轨道类型称为布鲁克—赫农族（Broucke-Hadjidemetriou-Henon topological class）。

1993年，美国数学家、物理学家克里斯·摩尔（Cris Moore）发现一种特解，其中3个天体的运动在一条“8”字形的轨道上互相追逐。

上述所有这些被发现的特解可以被归结为下面3族：拉格朗日—欧拉族、布鲁克—赫农族和“8”字形族。拉格朗日—欧拉族的解比较简单，就是三个天体相对静止地在圆轨道上运动，就像旋转木马那样。布鲁克—赫农族的解比较复杂，两个天体在里面横冲直撞，第三个天体在它们外围做环绕运动。

这些轨道的族是按它们的拓扑性质分类的。考虑某一时刻三个天体的相对位置，它可以用两个矢量和表示，而这两个矢量又可以进一步转换成一个三维单位球上的向量，这样的球称为形状球（shape sphere）。在这样的转换下，三个天体两两相撞所对应的三个点是形状球上的奇点，因为代表系统状态的向量一旦碰到这三个点就不再可能是周期性的。所以只能绕着极点演化，根据绕法的不同就可以分类出不同的轨道族。

2013年，塞尔维亚贝尔格莱德物理研究所的米洛万·舒瓦科夫（Milovan Šuvakov）和迪米特拉·什诺维奇（Veljko Dmitrašinović）在等质量零角动量的条件下找到了13组新的周期性特解。3他们使用的方法，是先从一个已知的周期解出发，然后在计算机模拟中不断天体的质量、初始位置和初始速度，直到发现新的、稳定的三体运动模式。这13组特解非常复杂，其中一族在形状球中就像一个松散的线团，被命名为yarn族。2015年，AnaHudomal用同样的方法新发现了14族解。

图：Milovan Šuvakov和Veljko Dmitrašinović发现的线团（yarn）族轨道

2017年，上海交通大学的廖世俊教授利用天河二号超级计算机，新发现了695个周期解。注意这里周期轨道解的发现不按族算，而是按个，比如图中的“糖果”形轨道。2018年，廖世俊团队又新发现1349个解。2021年，廖世俊团队基于机器学习又新发现了135445个解。

观测情况

半人马座α三合星

半人马座α三合星系统是离我们太阳系最近的恒星系统，距离仅4.2~4.3光年。它由半人马座α星A（南门二A）、半人马座α星B（南门二B）和半人马座α星C（比邻星）构成。

在这样一个三体星系中，A和B两颗星的质量接近太阳，比邻星的质量则约为太阳的十分之一。所以相对而言，AB双星的轨道更稳定，它们围绕各自对方为中心旋转组成转动周期约80年的双星系统，旋转半径为17.57天文单位（Astronomical Unit，缩写AU）。比邻星则在距离它们0.2光年远的地方绕着它们公转，偏心率约0.5，周期预计约51万年。6比邻星对半人马座αAB双星的引力虽然微小，但依然会有影响，它们三颗星的轨道并不是简单的两层圆轨道嵌套，而是在不断发生微小变动而难以预测的。

图：半人马座α三合星系统相对太阳系的位置。灰点是比邻星的投影，投影与太阳的距离和半人马座αAB双星与太阳的距离相等。图中距离单位pc：秒差距；ly：光年；Pm：拍米，即1015米

勾陈一三合星

北极星是很著名的恒星，但你也许想不到它也是一个三合星系统。其中勾陈一A的质量是太阳的5.4倍，勾陈一Ab的质量是太阳的1.26倍，两者相对较近，距离为18.5个天文单位。勾陈一B的质量是太阳的1.39倍，距离上述两颗星2400个天文单位。

这三颗星距离很近，所以人们很晚才意识到它其实并不是一颗星。勾陈一B最早由威廉•赫歇尔（William Herschel）在1779年观测到。1929年，美国天文学家约瑟夫•海恩斯•摩尔（Joseph Haines Moore）用视向速度法观测到勾陈一A有一个29.7年的变化周期，第一次揭示了勾陈一Ab的存在。

2006年1月9日，美国“哈勃”太空望远镜首次拍摄到北极星的一颗小伴星——“勾陈一Ab”。[7]这一发现，使得由三颗恒星组成的北极星系统完整地呈现于人们面前。

图：哈勃望远镜拍摄的图片展示了北极星是一个三星系统，图源：哈勃望远镜

含有脉冲星的三合星系统

2014年1月，一个国际天文学家小组利用格林班克射电望远镜（Green Bank Telescope，简称GBT）发现一个奇特的“三体”恒星系统，这个系统中包含两颗白矮星以及一颗拥有超高密度的脉冲星。这是人们第一次发现含有脉冲星的三合星系统。

脉冲星是中子星的一种，随着它们的高速自转，它们发出的无线电波会像大海中的灯塔一样周期性地扫过周围空间。此次发现的这颗脉冲星距离地球约4200光年，自转速度是每秒366圈。这类脉冲星被归类为“毫秒脉冲星”，天文学家们利用这类天体作为研究多种现象的精确计时工具，其中包括搜寻难觅踪迹的引力波。

后续的观测发现这颗脉冲星旁边还存在一颗白矮星，它的质量是太阳的0.2倍，它们在轨道上相互绕转，周期越1.6天。而这对“双星”本身又在更远的距离上围绕另外一颗0.41倍太阳质量的白矮星运转，周期约327天。

图：PSR J0337+1715三合星系统，图源：Jason Hessels/ASTRON

西肯塔基大学天文学家杰森·博伊尔（Jason Boyles）最早在2012年在利用格林班克望远镜开展大范围巡天观测并搜寻脉冲星的过程中最先发现了这颗脉冲星目标，并命名为PSR J0337+1715。当时他还是该校的研究生。

研究人员利用格林班克望远镜，位于波多黎各（Puerto Rico）的阿雷西博射电望远镜(Arecibo radio telescope)，以及位于荷兰的韦斯特博克综合孔径射电望远镜（Westerbork Synthesis Radio Telescope，简称WSRT）开展了密集的观测研究工作。科学家们还调用了来自斯隆数字化巡天（Sloan Digital Sky Survey，简称SDSS）、星系烟花探索者卫星（Galaxy Evolution Explorer，简称GALEX）、亚利桑那基特峰WIYN望远镜（Wisconsin; Indiana; Yale and NOAO Telescope），以及斯皮策空间望远镜（Spitzer Space Telescope）的数据。

这三颗恒星绕转的轨道比地球绕太阳的轨道还要小，而它们的密度又都比太阳大得多，所以它为我们对引力效应的观测提供了很好的条件，尤其是对广义相对论中“强等效原理”的检验。等效原理认为，引力对物体运动的影响不取决于物体自身的性质，例如在比萨斜塔实验中，不同质量的小球最后会同时落在地面上。在这个系统中，外侧的白矮星的引力对内侧白矮星和脉冲星的运动影响应当也遵循相同的规律。而如果强等效原理在强引力的极端条件下失效，那么内侧的白矮星和脉冲星的运动规律会存在差异，从而影响毫秒脉冲星的脉冲信号，进而帮助人们观测到这样的微小差异。这种检测方法能对强等效原理给出迄今为止最精确的检验。

科幻文化

2006年，中国科幻作家刘慈欣开始在《科幻世界》中连载小说《三体》，它以半人马座α三合星系统为参照，假设了在该恒星系统中存在一个外星文明，因为生存环境极不稳定而入侵地球。

在小说中，有一位人类数学家魏成，专门研究三体问题的严格解。