莫比乌斯带

发现命名

公元1858年，两名德国数学家莫比乌斯和约翰·李斯丁发现，一个扭转180度后再两头粘接起来的纸条，与普通纸带具有两个面(双侧曲面)不同，这样的纸带只有一个面(单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！这一神奇的单面纸带被称为“莫比乌斯带”(Möbius strip)。1

作为一种典型的拓扑图形，莫比乌斯带引起了许多科学家的研究兴趣，并在生活和生产中有了一些应用。例如，用皮带传送的动力机械的皮带、打印机上的色带,做成“ 莫比乌斯带” 状,这样增大了磨损面积,寿命也就延长了。2

2003年12月28日《科技日报》报道德国科学家成功合成了稳定的“莫比乌斯”芳香族化合物3；而此后对“莫比乌斯”芳香族化合物的研究越来越向纵深发展。

据发表在《自然·合成》杂志上的论文，2022年5月20日，日本名古屋大学等组成的研究团队在英国科学杂志上发布成果称，在世界首次合成了一种带状分子纳米碳，具有扭曲的莫比乌斯带拓扑结构，即莫比乌斯碳纳米带。4

莫比乌斯带不但应用于自然科学领域。同时也为诸多的文学家提供了素材，构思了许多品位极佳的科幻作品。5

制作方法

拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带。

我们把一个莫比乌斯环沿中线剪开，曲面并不被分成两部分，而是成为一个双侧曲面，它可以由一个矩形纸条扭转360°，6再将对边粘合而成。将莫比乌斯纸环沿着三等分线剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环周长是原莫比乌斯环的两倍，小环周长与原莫比乌斯环相同。

如果我们进一步实验，将莫比乌斯环沿4等分线剪开，我们会发现下面的现象：居然剪出了两个互相链接的纸环，展开2个纸环并拉直，可以看出2个纸环是一样长的。

将莫比乌斯环沿5等分线剪开，则可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个纸环并拉直，可以看出其中2个环一样长，另一个环长度是其他两环的一半。将莫比乌斯环沿6等分线剪开，可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个环可以看到，3个环一样长。

新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

相反，拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一个身，粘成一个双侧曲面。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出两个环套环的双侧曲面。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。

比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套完全贴合于右手；也不能把右手的手套完全贴合于左手。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若把类似的想法运用到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

拓展

制作过程中把纸带一端旋转180度可以，旋转540度、900度……都符合莫比乌斯带的定义。（在省略号中的数为180的奇数倍均可以）

和几何学关系

可以用参数方程式创造出立体莫比乌斯带：

这个方程组可以创造一个边长为1半径为1的莫比乌斯带，所处位置为x-y面，中心为（0，0，0），参数u在v从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。

从拓扑学来讲，莫比乌斯带可以定义为矩形[0,1]×[0,1]，边由在0≤x≤1的时候按（x,0）（1-x,1）的方式进行粘合得到。

莫比乌斯带是一个二维的紧致流形（即一个有边界的面），可以嵌入到三维或更高维的流形中。它是一个不可定向的的标准范例，可以看作2维实射影平面去掉一个圆盘。同时也是数学上描绘纤维丛的例子之一。特别地，它是一个以单位区间I= [0,1]为纤维，圆S上的非平凡丛。仅从莫比乌斯带的边缘看去给出S上一个非平凡的两个点（或）的丛。

拓扑变换

莫比乌斯带是一种拓扑图形，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意的变形下保持不变，只要在变形过程中不使原来不同的点重合为同一个点，又不产生新点。换句话说，这种变换的条件是：在原来图形的点与变换了图形的点之间存在着一一对应的关系，并且邻近的点还是邻近的点。这样的变换叫做拓扑变换。拓扑有一个形象说法——橡皮几何学。因为如果图形都是用橡皮做成的，就能把许多图形进行拓扑变换。例如一个橡皮圈能变形成一个圆圈或一个方圈。但是一个橡皮圈不能由拓扑变换成为一个阿拉伯数字8，因为不把圈上的两个点重合在一起，圈就不会变成8。4