黄金分割比

定义

黄金分割比，也被称为费波那契数列或黄金比例，是数学中的一种特殊比例关系。它的定义是，将一条线段分为两部分，使得较长部分与整条线段的比等于较短部分与较长部分的比，这个比值就是黄金分割比。

黄金分割比通常用希腊字母Φ（Phi）表示。它是一个无理数，其近似值通常取0.618。

黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的，通过简单的计算就可以发现：

0.618/1=1/0.618

(1-0.618)/0.618=0.618

原理

让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。特点是除前两个数（数值为1）之外，每个数都是它前面两个数之和。

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比，即f(n-1)/f(n)-→0.618…。由于菲波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以它只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是，当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时，就会发现相邻两数之比确实非常接近黄金分割比。

举例

五角星非常美丽，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为，五角星中的所有线段长度关系都符合黄金分割比，展示了黄金分割的美丽。正五边形的对角线连满后，所有形成的三角形也都是黄金分割三角形。

五角星的顶角为36度，这也可以计算黄金分割的数值：2sin(18°)≈0.618。

将一条线段分割为两部分，使得较长的那部分与原线段长度的比例等于黄金分割比的点，被称为黄金分割点。在一条线段上存在两个黄金分割点。

利用这两个黄金分割点，我们可以轻松绘制出正五角星和正五边形。

应用

黄金分割是一种被广泛应用于艺术和建筑中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。

在建筑方面，黄金分割比被用来确定建筑物的比例和尺寸。在我国的马王堆汉墓出土的文物中，就有按照黄金分割比制作的长宽。古埃及的金字塔、巴黎的圣母院、法国的埃菲尔铁塔、希腊雅典的巴特农神庙等著名建筑都运用了黄金分割比。在艺术领域，黄金分割比也被艺术家们广泛运用在自己的作品中。在西方的艺术史中，人物经常使用黄金分割比进行刻画，如达芬奇的《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》，以及拉斐尔的《花园中的母与子》等画作。

巴托克音乐中对黄金分割法则体现得淋漓尽致，令人惊叹不己，它集中反映在作品曲式结构与音程法则中。关于巴托克音乐作品中对曲式结构的逻辑性表现为高度的均衡感和适度感，高度的对称和统一特征。由此看来，作品内部比例和黄金标界的规律是有着密切的联系的，兰德卫称这种联系不下于维也纳古典乐派的方整型乐段在乐曲结构方面的重要性。巴托克的大量作品中，乐曲的高潮恰好在黄金分割点上，即乐曲总长乘以0.618得出的积为乐曲的高潮点。因此，把乐曲可分成长段(总长×0.618)与短段(也可理解为总长×0.382)两大部分，即正方与负方。黄金标界除表现在乐曲总长上外，还可表现在各分段上，长段又可分为两部分，短段也可分为两部分，法则与黄金分割法相同。这样就形成了长段—短段—黄金分割点—短段—长段的对称图式，可称之为“对称轴”，轴心在黄金时代分割点上。此处的“轴心”原理与对称轴在意义上有所不同，它不是以线段长度的数字为依据，而是以音乐情绪发展为依据。此处的数字只是体现了黄金分割在结构造型上的美学意义。

在实际生活中，黄金分割的应用非常广泛。建筑物中的某些线段比例就采用了黄金分割，舞台上的报幕员也并非站在舞台正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最为美观，声音传播的效果也最好。甚至连植物界也遵循黄金分割的规律，从一棵嫩枝的顶端向下看，可以看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的方向和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。

历史发展

公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派对正五边形和正十边形的作图进行了研究，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯对黄金分割进行了系统的研究，并建立起比例理论。他的工作为后续关于黄金分割的理论奠定了基础。

公元前300年前后，欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

在中世纪之后，黄金分割被赋予了神秘的外衣。意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

到了19世纪，黄金分割这一名称逐渐通行。

随着时间的推移，黄金分割数被发现了许多有趣的性质，并且被广泛地应用于现实生活中。最著名的例子是在优选学中使用的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国得到了推广。

总的来说，黄金分割的历史发展过程跨越了几千年的时间，从古希腊毕达哥拉斯学派开始，经过多位杰出数学家的研究和发展，最终在现实生活中找到了广泛的应用。