哈密顿算子- · 科普中国网

定义

哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子： $%5Cnabla%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cvec%7Bi%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvec%7Bj%7D%20%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cvec%7Bk%7D$ ，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。1

记号▽ 读作“那勃乐（Nabla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。1

▽ 本身并无意义，就是一个算子，同时又被看作是一个矢量，在运算时，具有矢量和微分的双重身份。2

运算规则

矢性微分算子

哈密顿引进了一个矢性微分算子称为哈密顿算子或算子： $%5Cnabla%20%5Cequiv%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7Di%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20j%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7Dk$ 。

记号读作“那勃勒”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程，并且推导简明扼要，易于掌握。

其运算规则为

(1) $%5Cnabla%20u%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cvec%7Bi%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cvec%7Bj%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cvec%7Bk%7D%EF%BC%8C$ 1

(2) $%5Cnabla%5Cbullet%5Cvec%7BA%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_x%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_y%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_z%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%2C$ 1

(3) $%5Cnabla%5Ctimes%20u%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_z%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_y%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cright%29%5Cvec%7Bi%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_x%7D%7B%5Cpartial%20z%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_z%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%29%5Cvec%7Bj%7D%2B%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_y%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20A_x%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cright%29%5Cvec%7Bk%7D$ 1

数量（标量）场的梯度与矢量场的散度和旋度可表示为：

（1）；

（2）；

（3）。1

与拉普拉斯算子的关系

常用公式

准备工作

设，首先引入新的矢性微分算子，如下所示：

$A%5Cbullet%5Cnabla%3DA%5Cbullet%28%5Cvec%7Bi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cvec%7Bj%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2B%5Cvec%7Bk%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%29$

$%3D%28P%20%5Cvec%7Bi%7D%2BQ%20%5Cvec%7Bj%7D%2BR%20%5Cvec%7Bk%7D%29%5Cbullet%0A%28%5Cvec%7Bi%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2B%5Cvec%7Bj%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2B%5Cvec%7Bk%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%29$

$%3DP%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2BQ%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2BR%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20z%7D$

它既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上。

（1） $%5Cleft%28A%5Cbullet%5Cnabla%5Cright%29u%3DP%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2BQ%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2BR%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20z%7D$ ；

（2） $%5Cleft%28A%5Cbullet%5Cnabla%5Cright%29B%3DP%5Cfrac%7B%5Cpartial%20B%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2BQ%5Cfrac%7B%5Cpartial%20B%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%2BR%5Cfrac%7B%5Cpartial%20B%7D%7B%5Cpartial%20z%7D$ 。