斯特林公式

定义

斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数展开和含参变量的积分等知识进行证明或推导，这种证明比较复杂，有许多技巧，篇幅较大，不容易理解。2近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

形式

或更精确的

或

或

，

或

，

证明

令

则

所以 即 ，即单调递减，又由积分放缩法有

即 ，即

由单调有界定理 的极限存在，

设

利用Wallis公式，

所以

即

程序

斯特林数判断阶乘位数

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<string.h>

#include<math.h>

const double e = 2.71828182845;

const double pi = 3.1415926;

int main(void) {

int t, i, f, v;

double a, s;

const double log10_e = log10(e);

const double log10_2_pi = log10(2.0*pi)/2.0;

while (scanf("%d", &t) != EOF && t) {

for (i = 0; i < t; ++i) {

scanf("%d\n", &v);

if (1 == v) {printf("1\n"); continue;}

a = v;

s = log10_2_pi + (a+0.5)*log10(a) - a * log10_e;

f = ceil(s);

printf("%d\n", f); } }

return 0; }