顺序主子式

定义

设A为 阶矩阵，子式

称为A的i阶顺序主子式。1

对于 阶的矩阵A，其共有n阶顺序主子式，即矩阵A的顺序主子式由共n个行列式按顺序排列而成。

应用

判定实二次型正定或矩阵正定

1.实二次型 正定的充分必要条件为A的顺序主子式全大于零。2

2.n阶矩阵 为正定矩阵的充要条件是A的所有顺序主子式 。3（A应为实对称矩阵）

根据以上两个定理，可以通过计算矩阵A的所有顺序主子式，来判断一个实二次型是否正定或矩阵A是否为正定矩阵。

判定矩阵是否可唯一LU分解

设矩阵 的各阶顺序主子式Di（i=1,2...n-1)不等于0，则A有唯一LU分解

其中，L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。4

根据以上定理，可以通过计算矩阵A的所有顺序主子式，来判断矩阵A是否可以进行LU分解，且为唯一分解。

举例

设阶矩阵

则A的顺序主子式为：

所以A是正定的，由其构成的实二次型是正定的。

因为A的n-1=2阶顺序主子式均不等于0，所以A有唯一LU分解，分解结果如下（）：