柯西中值定理

人物简介

柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职。由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。并且在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式。

定理定义

柯西（Cauchy）中值定理：设函数 满足

⑴在闭区间 上连续；

⑵在开区间 内可导；

⑶对任意， ，

那么在内至少有一点 ，使得 成立2

与拉氏定理的联系

在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，则其结论形式和拉格朗日中值定理的结论形式相同。

因此，拉格朗日中值定理为柯西中值定理的一个特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推广。

证明

可构造辅助函数 ， 在 上连续，在 内可导，且有 。

由罗尔定理可知，存在 ，使得 ，即 ，又 ，所以有

几何意义

若令 ，这个形式可理解为参数方程，而 则是连接参数曲线两端点弦的斜率， 表示曲线上某点处切线的斜率，在定理的条件下，结论可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。3

应用例子

泰勒公式

柯西中值定理最主要的应用是证明带有拉格朗日余项的阶泰勒公式，只要反复使用柯西中值定理多次就能证明，下面以 为例说明。

例1设 在 内二次可微，证明：任意的 ，在 之间存在 ，使

这就是函数 在点 邻域内的一阶泰勒公式。

证明令 ，

利用 ， ， ， 。在两次应用到柯西中值定理后可以得到：

命题得证。4

洛必达法则

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。

洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

我们得出下面这个定理（洛必达法则）：

⑴两个函数 和 在开区间 可微，并且在这个开区间上， 的导数不等于0；

⑵存在极限 （或 ），其中A为一个有限的常数。则在以下情况下： （或者 和 ）。那么就有： （或 ）。在区间的另一个端点也存在相类似的结果。这个定理就称之为洛必达法则，能有效地应用于待定型的极限计算。

不等式

柯西中值定理在不等式的证明也有广泛应用，关键是f(x)和g(x)要选得恰当。5

例3试证明当 时， （引用文内原题，解法重新作出）。

证明 设 ，

则 在区间 上满足柯西中值定理条件，所以存在 ，使 ，即