二次函数- · 科普中国网

基本定义

一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

顶点坐标 $%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%5Cright%29$

交点式****为 y=a（x-x1）（x-x2**）**（仅限于与x轴有交点的抛物线），

与x轴的交点坐标是A（X1，0）和B（x2,0）。

注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。

历史

大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。

11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）

函数性质

**1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

***2.***抛物线有一个顶点P，坐标为P $%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%5Cright%29$ 。当 $-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%3D0$ 时，P在y轴上；当时，P在x轴上。

***3.***二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越小，则抛物线的开口越大；|a|越大，则抛物线的开口越小

***4.***一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0）（可巧记为：左同右异），对称轴在y轴右侧。

***5.***常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）

***6.***抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。时，抛物线与x轴有1个交点。当时，抛物线与x轴没有交点。

**7.**当时，函数在 $x%20%3D%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D$ 处取得最小值 $f%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%20%3D%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D$ ；在 $%5Cleft%28%20-%5Cinfty%2C%20%5C%2C%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20%5Cright%5D$ 上是减函数，在 $%5Cleft%5B%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%20%2B%5Cinfty%20%5Cright%29$ 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%20%2C%20%5C%2C%20%2B%5Cinfty%20%5Cright%29$ 。

当时，函数在 $x%20%3D%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D$ 处取得最大值 $f%5Cleft%28-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%5Cright%29%20%3D%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D$ ；在 $%5Cleft%28%20-%5Cinfty%2C%20%5C%2C%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20%5Cright%5D$ 上是增函数，在 $%5Cleft%5B%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%20%2B%5Cinfty%20%5Cright%29$ 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 $%5Cleft%28%20-%5Cinfty%20%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%20%5Cright%5D$ 。

当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。

8.定义域：R

9.值域：当a>0时，值域是 $%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%20%2C%20%5C%2C%20%2B%5Cinfty%20%5Cright%29$ ；当a<0时，值域是 $%5Cleft%28%20-%5Cinfty%20%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%20%5Cright%5D$ 。6

奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下。

⑶顶点： $%5Cleft%28%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D%20%5Cright%29$ ；

⑷

若Δ>0，则函数图像与x轴交于两点：

$%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2a%7D%20%2C%20%5C%2C%200%20%5Cright%29$ 和 $%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7B%5CDelta%7D%7D%7B2a%7D%20%2C%20%5C%2C%200%20%5Cright%29$ ；

若Δ=0，则函数图像与x轴交于一点：

$%5Cleft%28%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%20%2C%20%5C%2C%200%20%5Cright%29$

若Δ

②顶点式：此时顶点为（h,k)

$k%3D%5Cfrac%7B4ac-b%5E2%7D%7B4a%7D$ 时，对应顶点为，其中, $h%20%3D%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D$ ；

③交点式：

函数图像与x轴交于和两点。

表达式

顶点式

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)***，***对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

**例：**已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

**解：**设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

**注意：**与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；

当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动h个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像；

当h＜0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像；

当h＜0,k＜0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动*|k|个单位可得到y*=a(x-h)²+k的图像。4

交点式

[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .

已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设 ,然后把第三点代入x、y中便可求出a。

$%5Cbecause%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20x_1%2Bx_2%20%3D%20-%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7D%20%5C%5C%5C%5C%20x_1%20x_2%3D%20%5Cdfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%20%5Cend%7Bcases%7D%5C$ 由一般式变为交点式的步骤： (韦达定理)

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Brcl%7D%20%5Ctherefore%20y%20%26%20%3D%20%26%20ax%5E2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%5C%5C%5C%5C%20%26%20%3D%20%26%20a%20%5Cleft%28x%5E2%20%2B%20%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7Dx%20%2B%20%5Cdfrac%7Bc%7D%7Ba%7D%5Cright%29%20%5C%5C%5C%5C%20%26%20%3D%20%26%20a%5Bx%5E2%20-%20%28x_1%2Bx_2%29x%2Bx_1x_2%5D%20%5C%5C%5C%5C%20%26%20%3D%20%26%20a%28x-x_1%29%28x-x_2%29%20%5Cend%7Barray%7D$

**重要概念：**a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数 $a%3D%5Cfrac%7By%7D%7Bx%5E2%7D$ (y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

欧拉交点式：

若ax²+bx+c=0有两个实根x1,x2，则此抛物线的对称轴为直线 $x%20%3D%20%5Cfrac%7Bx_1%20%2B%20x_2%7D%7B2%7D$ 。

三点式

方法1：

已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，有：

得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

方法2：

已知二次函数上三个点，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)

利用拉格朗日插值法，可以求出该二次函数的解析式为：

$f%5Cleft%28x%5Cright%29%3D%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-x_2%5Cright%29%5Cleft%28x-x_3%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%28x_1-x_2%5Cright%29%5Cleft%28x_1-x_3%5Cright%29%7D%5Ccdot%20y_1%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-x_1%5Cright%29%5Cleft%28x-x_3%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%28x_2-x_1%5Cright%29%5Cleft%28x_2-x_3%5Cright%29%7D%5Ccdot%20y_2%2B%5Cfrac%7B%5Cleft%28x-x_1%5Cright%29%5Cleft%28x-x_2%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%28x_3-x_1%5Cright%29%5Cleft%28x_3-x_2%5Cright%29%7D%5Ccdot%20y_3$

与X轴交点的情况:

当时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。

当时，函数图像与x轴只有一个切点，即 $%5Cleft%28%20-%5Cfrac%7Bb%7D%7B2a%7D%2C%20%5C%2C%200%20%5Cright%29$ 。

当时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数（ $x%20%3D%20%5Cfrac%7B%20-b%20%5Cpm%20%5Csqrt%7Bb%5E2%20-%204ac%7D%20%7D%7B2a%7D$ ）

函数图像

基本图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由