拉格朗日鞍点

基本介绍

拉格朗日鞍点(Lagrange saddle point)是非线性规划问题中满足特定条件的点。对于非线性规划问题(NP)(参见下文“非线性规划”)，它的拉格朗日函数是指目标函数和约束条件中函数的如下线性组合：

其中满足条件

的点称为(NP)的拉格朗日鞍点。

定理 设是凸优化问题的KKT点，则为对应的拉格朗日函数的鞍点，同时也是该凸优化问题的全局极小点1。

鞍点定理

鞍点定理(saddle point theorem)是关于拉格朗日函数的鞍点与约束优化问题最优点之间的关系定理。鞍点是函数平稳点的一种，应用鞍点的性质，可以推得最优点的充分条件如下：对于约束极小化问题，如果其拉格朗日函数的鞍点存在，即有，那么相应的必是该约束极小化问题的最优点。由于没有涉及函数的凸性与可微性，适用范围较广，但因求解鞍点很困难， 且即使原问题的最优点存在，它的拉格朗日函数也不一定有鞍点，故目前并不实用2。

相关概念

非线性规划

非线性规划(nonlinear programming)是数学规划的一个重要分支，它研究目标函数或约束条件中的函数有一个或多个是变量的非线性函数的数学规划问题。其研究的问题，称为非线性规划问题，简称非线性规划，记为(NP)。极小化形式的非线性规划问题的数学模型为

其中是n维欧氏空间中的向量，是目标函数，和是约束条件，并且在和中至少有一个是的非线性函数，因q个等式约束可以化成与它等价的个不等式约束

故非线性规划的数学模型可写成另一形式，其中。

拉格朗日法

拉格朗日法(Lagrange method)是利用拉格朗日函数，把约束非线性规划问题转化为无约束极小化问题求解的一种方法。对于非线性规划问题

设均具有一阶连续偏导数，将拉格朗日函数表示为上述非线性规划问题的目标函数与加权约束函数之和：

其中是拉格朗日乘子。令其各偏导数为零，得到一方程组，解此方程组可得到非线性规划问题的最优解3。