定义
在空间直角坐标系下,由方程
所表示的曲面称为椭球面,或称椭圆面,从方程可知
即 .
这说明椭球面完全包含在由平面 所围成的长方体内,其中a,b,c按其大小,分别称为椭圆的长半轴、中半轴和短半轴。
形状
用截痕法来考察椭球面的形状。截痕法就是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕的形状),然后加以综合,从而知道了曲线的全貌。
先考察椭球面与三个坐标面的截痕
, , .它们都是椭圆。
再用平行于xOy坐标面的平面z=h(0<|h|<c)去截面得到截痕的方程为
或
这是一个位于平面z=h上的椭圆,它的中心在z轴上,两个半轴分别为和。当|h|逐渐增大时,椭圆由大变小,当|h|=c时,椭圆缩为点(0,0,±c)。
用平行于yOz面或xOz面的平面去截椭球面,可以得到类似的结果。
当a,b,c中有任意2个相等时,为旋转椭球面。
旋转椭球面标准方程(不妨a=b时)为
可以看作由椭圆绕z轴旋转而成的。
当a=b=c时,即三个半轴都相等时,为球面:。1
相关概念
椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴,它的一半叫做半轴.2
存在范围
椭球面完全被封闭在一个长方体的内部,这个长方体由六个平面:x=±a, y=±b, z=±c所围成.
坐标面所截曲线
① ② ③
分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆,它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).
坐标面平行平面所截曲线
或 ④
椭球面可以看成由此椭圆族④所生成,这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行,而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面,结论类似.
参数方程
x=asinθcosφ
y=bsinθsinφ
z=ccosθ (0≤θ≤π, 0≤φ<2π)
从中消去 θ, φ可得椭球面的标准方程.
应用
一般地,运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为:
(1) 曲面的对称性:讨论图形各部分之间的关系;
(2) 曲面的范围:讨论图形存在的范围;
(3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系:以便对图形的大概轮廓有所了解;
(4) 确切研究曲面的弯曲变化情况:主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面,研究截口曲线是怎样变化的,也叫平行截面法,或平行截口线法.